Jak poprawnie znaleźć limit?

Question

Chcę użyć MMA, aby znaleźć limit $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \pi}{n+\frac{1}{n}}\right)$.

Limit[Sum[Sin[(i*Pi)/n]/(n + 1/i), {i, 1, n}], n -> Infinity]

Jednak powyższy kod nie daje prawidłowego wyniku (odpowiedź brzmi $\frac{2}{\pi}$).

Co mogę zrobić, aby uzyskać właściwe wyniki?

Answer 1

Niedawne polecenie Mathematica

AsymptoticSum[Sin[(i*Pi)/n]/(n + 1/i), {i, 1, n}, {n, Infinity, 1}]
(*2/\[Pi]*)

wykonuje pracę.