konstruowanie homotopii

Question

Pozwolić $X,Y$ być przestrzeniami topologicznymi i $f,g:X \rightarrow Y$być ciągłymi mapami. Przypuszczać$f,g$ są homotopijne przez homotopię $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Pozwolić$\gamma$ być ścieżką $Y$ z punktami końcowymi $y_0=f(x_0)$ i $z_0=g(x_0)$ określony przez $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Pozwolić$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ być pętlą $X$ z $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Chciałbym pokazać, że ścieżki$f \circ \alpha$ i $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ są ścieżkami homotopicznymi poprzez konstruowanie homotopii $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
wiem to$\gamma$ wywołuje zmianę izomorfizmu punktu bazowego $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ podane przez $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ dla wszystkich $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
Nie wiem, jak zbudować tę homotopię$G$ konkretnie, ale wiem, że musi spełniać następujące warunki: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

TEOREM: Niech $h:X \to Y$być funkcją ciągłą. Gdyby$α,β$ są ścieżkami homotopicznymi w $X$ następnie $hoα$ i $hoβ$ są homotopijne w $Y$.
Otrzymaliśmy informację, że istnieje ciągła mapa$H:X×I \to Y$ takie że $H(x,0)=f(x)$ i $H(x,1)=g(x)$.
Dlatego, aby pokazać te ścieżki$foα$ i $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ są homotopijne, musimy szukać ścieżek w nich $X×I$ takie, że ich obraz pod H jest $foα$ i $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Pozwolić$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. W związku z tym$p$ i $c \ast q \ast \hat c$to nasze wymagane ścieżki.
Teraz pozwól$G:I×I \to X×I$ być zdefiniowane jako $G(s,t)=(α(s),t)$. Teraz, jeśli możemy znaleźć ścieżki w$I×I$ takie, że ich wizerunek pod G są $p$ i $c \ast q \ast \hat c$ skończyliśmy, bo to oznacza $p$ i $c \ast q \ast \hat c$są homotopijne.
Pozwolić$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ i $d(s)=(s,0)$.
Można zauważyć, że$d$ i $a \ast b \ast \hat c$to wymagane ścieżki. Teraz, ponieważ obie te ścieżki$d$ i $a \ast b \ast \hat c$ mają ten sam punkt początkowy i końcowy i od tego czasu $I×I$jest po prostu połączone, są homotopijne. Implikuje$p$ i $c \ast q \ast \hat c$ są implikacjami homotopicznymi $foα$ i $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ są homotopijne.