Limit za pomocą sum Riemanna [duplikat]

Question

Mam problem z rozwiązaniem następującego limitu:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

To pytanie znajduje się w sekcji „Suma Riemanna”, więc myślę, że powinniśmy zamienić to na całkę, więc:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

Myślę, że$n$to liczba partycji i$1/n$to długość każdego z nich, co oznacza, że$b - a = 1$lub$b = a+1$, co oznacza, że ​​wystarczy znaleźć wartość dla$a$oraz$b$będzie to$+1$. Ale teraz nie mogę znaleźć wartości$a$ani$f(x)$. Jak mogę to rozwiązać?

Answer 1

Zauważ, że$\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$i dlatego$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$