Na normalnych drzewach Suslin

Question

Czytam książkę Jecha „Teoria mnogości” właśnie w części dotyczącej drzew Suslin. Na temat Lematu 9.13 udowadnia, że ​​jeśli istnieje drzewo Suslin, to istnieje normalne drzewo Suslin.

Gdyby $T$ jest normalnym drzewem wysokości $\alpha$w szczególności to spełnia

Dla każdego $x\in T$ i $height(x)<\beta<\alpha$, tam istnieje $y>x$ takie że $height(y)=\beta$.

Ale wydaje mi się to po prostu dziwne, ponieważ ta właściwość wydaje się implikować, poprzez indukcję pozaskończoną, istnienie łańcucha o tej samej wysokości $T$. Ale jeśli to prawda, to nie powinny to być normalne drzewa Suslin, ponieważ każde drzewo Suslin ma wysokość$\omega_1$i żadnych niezliczonych łańcuchów. Czego tu brakuje?

Answer 1

Brakuje Ci etapów granicznych. Oczywiście, jeśli gałąź ma długość następcy (tj. Ma maksymalną liczbę elementów), możesz ją rozszerzać poziom o poziom przez$\omega$więcej kroków, ale skąd wiesz, że dalej się to dzieje? Dla każdego węzła w gałęzi znajduje się jakiś węzeł powyżej niego na następnym poziomie limitu, ale to nie znaczy, że można powiedzieć, że istnieje węzeł nad całą gałęzią.

Bardziej konkretny przykład drzewa, które ma wysokość $\omega_1$ i ta właściwość, ale nie ma gałęzi długości $\omega_1$rozważ drzewo funkcji od policzalnych liczb porządkowych do $\omega$ które są jeden do jednego i mają nieskończony zasięg.