Odchylenie metryki

Question

Patrzę na wyprowadzenie równań pola Einsteina jako równania Eulera-Lagrange'a funkcjonału Hilberta. Aby to zrobić, należy zacząć od odmiany$$ g(t) = g+th $$ metryki, gdzie $h$jest symetrycznym tensorem z 2 kowariantami. Dla małych$t$, $g(t)$ będzie odwracalna (jeśli zinterpretujemy ją jako macierz), więc warto rozważyć komponenty $g(t)^{ij}$odwrotności. Mamy$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ Moje pytanie: co dokładnie robią współczynniki$h^{lk}$ przedstawiać?

Zawsze myślałem, że jeśli ktoś ma, powiedzmy, 1-kowariantny tensor $A = A_i dx^i$, następnie $A^i$ oznaczają składniki tensora kontrawariantnego 1 $A^\#$(por. izomorfizmy muzyczne ), podane przez$A^i = g^{ij}A_j$. Ale we wzorze na$h^{lk}$ powyżej mamy również znak minus z przodu, o ile widzę współczynniki $h^{lk}$ nie są uzyskiwane poprzez podwyższenie indeksów $h_{lk}$. To powiedziawszy, metryka nie jest tak naprawdę ustalona w tym przypadku, więc izomorfizmy muzyczne też nie są, co może być dla mnie źródłem nieporozumień.

Answer 1

Twoim błędem jest to $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$W rzeczywistości, $h^{jk}$ jest otrzymywany z podnosząc oba indeksy$h_{jk}$. To, co pokazałeś, to to$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$Filozofia stojąca za tym jest taka: wiesz, że początkowa prędkość krzywej $t\mapsto g(t)$ jest $h$i chcesz obliczyć prędkość początkową innych obiektów geometrycznych skojarzonych z $g(t)$ pod względem $h$. Początkowa prędkość krzywej odwrotnych współczynników wynosi$-h$ (do izomorfizmów muzycznych).

Zajmując się współczynnikami, wykonujesz obliczenia na macierzowych grupach Lie. Tam wzór na pochodną inwersji$\iota(A)=A^{-1}$ jest dany przez $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, więc wszystko jest w porządku (porównaj z $(1/x)'=-1/x^2$i uczyń go nieprzemiennym; każdy$A^{-1}$ odpowiada podniesieniu o jeden indeks).