odległość zadanego problemu

Question

$\Omega$ jest podzbiorem otwartym $\mathbb{R}^n$.pozwolić $A\subset \Omega$ być zwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$.

Udowodnij odległość $d(\partial \Omega,A)>0$

Mój dowód, przypuśćmy $d(\partial \Omega,A) = \inf_{x\in A}d(\partial\Omega,x) = 0$, więc istnieje sekwencja $(x_n)\in A$ takie że $d(\partial \Omega,x_n) <\frac{1}{n}$ Teraz od $A$ jest ograniczony, istnieje podciąg zbieżności, $x_{n_k}\to x\in A$(od $A$ zamknięte.)

Mamy więc ciągłość funkcji odległości $d(\partial\Omega,x) = 0$ co oznacza $x\in \partial\Omega$ (od $\partial \Omega$ jest zamknięte), co jest sprzecznością, ponieważ nie ma przecięcia $\partial\Omega$ i $A$ spowodowany $\Omega$ jest otwarte.

Pytanie brzmi, że zakładam, że $A$ jest ograniczony zbiorem do skonstruowania sekwencji, ale w rzeczywistości ten warunek ograniczony nie wydaje się konieczny, więc jak udowodnić, jeśli tylko zakładamy $A$ jest zamkniętym podzbiorem $\mathbb{R}^n$ który zawiera w $\Omega$?

Answer 1

To nieprawda, jeśli porzucimy zwartość: Niech $\Omega=\bigcup (2n,2n+1)$ i $A=\{2n+\frac 1 n: n \geq 1\}$. Następnie$A$ jest zamkniętym podzbiorem zbioru otwartego $\Omega$ i $d(\partial \Omega, A) \leq |2n-(2n+\frac 1n) |=\frac 1n $ dla wszystkich $,n$. Więc$d(\partial \Omega, A)=0$