Odwróć się do twierdzenia Darbouxa
Myślałem o pojęciach związanych z różniczkowalnością. W szczególności bycie ciągłym, posiadanie funkcji pierwotnej (tj. Będącej pochodną czegoś) i własności wartości pośredniej (spełniającej wniosek Twierdzenia o wartości pośredniej, czasami nazywanej funkcją Darboux).
Funkcje ciągłe mają IVP przez Int Value Thm, ale odwrotnie jest fałsz. Funkcje ciągłe mają funkcje pierwotne przez fundusz Thm of Calc, ale instrumenty pochodne nie muszą być ciągłe. Funkcje, które są pochodnymi, mają IVP według twierdzenia Darbouxa.
Implikacja, której nie byłem w stanie znaleźć, jest taka, że funkcje z IVP muszą mieć funkcje pierwotne. Klasycznymi kontrprzykładami dla tego typu pytań są funkcje$f(x)=x^n\sin\left(\frac1x\right)$. Ale jeśli spojrzymy, powiedzmy$f(x)=\sin\left(\frac1x\right)$, to ma IVP, ale jakie są metody, aby pokazać, że nie ma funkcji pierwotnej, ponieważ nie możemy użyć twierdzenia Darboux?
Odpowiedzi
Funkcja z IVP niekoniecznie ma funkcję pierwotną. Głównym powodem jest to, że funkcja IVP może być skrajnie nieciągła, podczas gdy funkcja z funkcją pierwotną nie może.
Mówiąc bardziej szczegółowo, funkcja Conway Base 13 jest funkcją, która ma IVP, ale nigdzie nie jest ciągła.
Z drugiej strony, jeśli $f$ ma wtedy funkcję pierwotną $f$musi być funkcją Baire'a klasy 1 (czyli punktową granicą funkcji ciągłych), co możemy zobaczyć po prostu patrząc na definicję bycia pochodną. Zbiór nieciągłości funkcji Baire'a klasy 1 jest zawsze zbiorem skromnym.
Podsumowując, te dwie rzeczy pokazują, że funkcja Conway jest funkcją IVP bez funkcji pierwotnej.