OLS według matrixform

Question

Jeśli mam model: $y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Muszę pokazać, że estymatorem OLS jest:

Myślę, że muszę skorzystać $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Ale jestem zdezorientowany. Czy ktoś może zapisać macierze X i Y? Muszę tylko pomnożyć pierwszą współrzędną w$2\times1$, bo muszę to tylko pokazać $\beta_1$?

Answer 1

$$\require{cancel} \xcancel{ X = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. \qquad {}} $$

Późniejsza edycja: nie zauważyłem, że model zaproponowany w oryginalnym poście nie ma przecięcia. To znaczy, że mamy$$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$