Operator macierzy symetrycznej

Question

Pozwolić $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ być macierzą symetryczną z wartościami własnymi $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ i rozkład widmowy podany przez $$ A = PDP^{\top}, $$ gdzie $D = \text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ i $P$ jest ortogonalna.

Pozwolić $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}$ być takim zestawem $\lambda_i\in\mathcal{S}$ dla wszystkich $i$i zdefiniuj jakąś funkcję $f:\mathcal{S}\to\mathbb{R}$.

Definiujemy macierz $f(A)$ tak jak $$ f(A) = Pf(D)P^{\top}, $$ gdzie $$ f(D) = \text{diag}(f(\lambda_1),...,f(\lambda_n)). $$

Jest $f(A)$ dobrze zdefiniowane?

Mam na myśli rozkład widmowy $A = PDP^{\top}$ nie jest wyjątkowy, ponieważ może istnieć $i,j$ św $\lambda_i=\lambda_j$, co to prowokuje $P$ nie jest wyjątkowa.

Każdy wgląd zostanie doceniony!

Answer 1

Jest dobrze zdefiniowany. Powód jest taki, że$f(D)$ można wyrazić jako wielomian w $D$ (którego stopień i współczynniki zależą od $f$ i $D$), który robi $f(A)$ wyrażalne jako wielomian w $A$. W rzeczywistości, jeśli$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_m$są tymi różnymi wartościami własnymi$A$ i $g$ jest wielomianem interpolacji Lagrange'a $$ g(x)=\sum_{i=1}^m\prod_{j\ne i}\frac{x-\mu_j}{\mu_i-\mu_j}f(\mu_i), $$ następnie $g(\mu_i)=f(\mu_i)$ dla każdego $i$. (W przypadku narożnika, gdzie$A=\mu I$, definiujemy $g$ jako stały wielomian $f(\mu)$.) W związku z tym $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)$ dla każdego $i$ (ponieważ każdy $\lambda_i$ jest trochę $\mu_k$), $f(D)=g(D)$ i $Pf(D)P^T=Pg(D)P^T=g(PDP^T)=g(A)$. Od$g$zależy tylko od nieuporządkowanego multi-zestawu wartości własnych$A$ ale nie włączony $P$ lub na zamówienie $\lambda_i$s po przekątnej $D$, produkt $Pf(D)P^T$ zawsze zwraca tę samą wartość, a mianowicie $g(A)$, niezależnie od przeprowadzonego rozkładu widmowego.

Answer 2

Dlatego $P^\perp P=I$, $$ A^2 = (PDP^\perp)^2=PDP^{\perp}PDP^{\perp}=PD^2P^\perp \\ A^n = PD^nP,\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ Definiować $P^0=I$. A następnie, jeśli$p$ jest wielomianem, $$ p(A)=Pp(D)P^\perp. $$ Dla macierzy diagonalnej $D$ z przekątną $d_1,d_2,\cdots,d_N$, ta definicja $p(D)$ daje macierz przekątną z przekątną $p(d_1),p(d_2),\cdots,p(d_N)$. Jest to zgodne ze standardową oceną wielomianu z macierzą$A$. I możesz to zobaczyć$(pq)(A)=p(A)q(A)$ na przykład.