Problem dotyczący normalnej podgrupy generowanej grupy

Question

Problem Skończona grupa$G$ ma dokładnie dwie podgrupy porządku $n$, oznaczony jako $H$ i $K$( tj. oprócz$H$ i $K$, nie ma podgrup $G$ zamówienia $n$już). Przypuszczać$G$ jest generowany przez $H$ i $K$. Udowodnij to$H$ i $K$ są normalnymi podgrupami $G$.

Definicja (normalna podgrupa) Załóżmy, że$G$ jest grupą i $H$ jest podgrupą $G$. Nazywamy$H$ normalna podgrupa $G$ gdyby $gHg^{-1}=H$ dla wszystkich $g\in G$.

Zrozumiałem to dla konkretnego $g\in G$, $gHg^{−1}$ jest podgrupą porządku $n$, co oznacza albo $gHg^{−1}=H$ lub $gHg^{−1}=K$. Teraz muszę wykluczyć taką możliwość$gHg^{−1}=K$ dla każdego $g\in G$ i to jest punkt, który mnie zastanawia ... Nie mam pojęcia, jak używać ”$G$ jest generowany przez $H$ i $K$”.

Podobną i trywialną propozycję przedstawiono następująco:

Twierdzenie Skończona grupa$G$ ma dokładnie jedną podgrupę zamówienia $n$, oznaczony jako $H$. Udowodnij to$H$ jest podgrupą $G$.

Answer 1

Pozwolić $h\in H$, Przypuszczam, że $hKh^{-1}$ nie jest $K$, to daje do zrozumienia ze $hKh^{-1}=H$, mamy też $hHh^{-1}=H$. pisać$f_h(x)=hxh^{-1}$. Pozwolić$k\in K$ mamy $f_h(k)=f_h(h'), h'\in H$ wynika z tego $hkh^{-1}=hh'h^{-1}$ wynika z tego $k=h'\in H, K\subset H$. To implikuje sprzeczność$K$ jest normalne, ponieważ $H$ i $K$ generuje $G$.