Problem z liczeniem: teczki

Question

Załóżmy, że wraz z przyjacielem otrzymacie dziewięć identycznie wyglądających teczek, z których trzy mają w sobie 100 dolarów, a reszta jest pusta. Oboje na zmianę wybieracie teczki (pierwsza osoba wybiera 5, a druga 4) i dopiero na końcu teczki są otwarte. Zrobiłem 1-4 części tych pytań sprzętowych, ale nie jestem pewien, jak zrobić ostatnie:

1. Jeśli pójdziesz pierwszy, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierzesz pustą teczkę w pierwszej turze.
2. Powiedzmy, że poszedłeś pierwszy i wybrałeś pustą teczkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Twój znajomy również wybierze pustą teczkę w swojej pierwszej turze, biorąc pod uwagę, że w pierwszej turze również wybrałeś pustą.
3. Powiedzmy, że poszedłeś pierwszy i wybrałeś teczkę za 100 dolarów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że twój znajomy wybierze pustą teczkę w swojej pierwszej turze, biorąc pod uwagę, że wybrałeś również taką, która ma 100 dolarów w pierwszej turze.
4. Jeśli gra miałaby się zakończyć po tym, jak każda osoba ma tylko jeden start, pokaż, że prawdopodobieństwo, że wybierzesz teczkę za 100 dolarów, jest takie samo, niezależnie od tego, czy zaczniesz, czy nie.
5. Gdyby gra kończyła się po wybraniu każdej teczki, czy lepiej byłoby zacząć, czy zająć drugie miejsce?

EDYCJA: Celem gry jest zarobienie jak najmniej pieniędzy, ponieważ „hazard jest zły”.

---

Moja próba:

1. Odpowiedź brzmi: nie. sposobów, w jakie możesz wybrać pustą teczkę podzieloną przez nr. sposobów wyboru teczki. To jest 6C1 (ponieważ jest 6 pustych teczek) podzielone przez 9C1, co równa się 2/3.

2. Uważam, że odpowiedź na to pytanie to 2/3 (z części 1) pomnożone przez 5C1 (ponieważ teraz pozostało 5 pustych teczek, a znajomy wybiera jedną z nich) podzielone przez 8C1 (ponieważ teraz pozostało tylko 8 przypadków do wyboru ). To jest ok. 0,4167.

3. Uważam, że to $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $, ponieważ pierwsza osoba musi wybrać jedną z trzech teczek na pieniądze z łącznie 9, a druga musi wybrać jedną z 6 pustych teczek z 8 pozostałych. To jest 0,25.

4. Pomyślałem, że podejdę do tego tematu, rozważając cztery różne wydarzenia, w których:

   • Wydarzenie A: Ty idziesz pierwszy i dostajesz 100 dolarów, potem przyjaciel wybiera puste.
   • Wydarzenie B: Ty idziesz pierwszy i dostajesz 100 dolarów, potem znajomy również dostaje 100 dolarów.
   • Wydarzenie C: Twój znajomy idzie pierwszy i dostaje 100 dolarów, potem też dostajesz 100 dolarów.
   • Wydarzenie D: Twój znajomy idzie pierwszy i wybiera pusty, a następnie dostajesz 100 dolarów.

   Dlatego, jeśli pójdziesz pierwszy, prawdopodobieństwo otrzymania 100 dolarów będzie równe prawdopodobieństwu zdarzenia A plus prawdopodobieństwo zdarzenia B. Jeśli pójdziesz jako drugie, jest to prawdopodobieństwo zdarzenia C plus prawdopodobieństwo zdarzenia D. Oba te wyrażenia to $ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $ czyli 1/3.

5. W tej części jestem zdezorientowany, jak podejść, ponieważ istnieje wiele różnych sekwencji prawdopodobnie wyboru 6 pustych teczek i 3 ze 100 dolarów.

Każda rada byłaby bardzo mile widziana.

Answer 1

Jeśli pójdziesz pierwszy, liczba otrzymanych walizek z pieniędzmi jest rozkładem hipergeometrycznym , ponieważ Twoje pięć walizek jest losowanych bez zastąpienia z populacji$3$ walizki na pieniądze i $6$ puste.

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

Jeśli zajmiesz drugie miejsce, odpowiednie prawdopodobieństwa będą w odwrotnej kolejności. Widać, że gracz, który idzie pierwszy, ma tendencję do zdobywania walizek z pieniędzmi.

Answer 2

Twoja odpowiedź w punkcie 2 jest nieprawidłowa.

Powiedzmy, że poszedłeś pierwszy i wybrałeś pustą teczkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Twój znajomy również wybierze pustą teczkę w swojej pierwszej turze, biorąc pod uwagę, że w pierwszej turze również wybrałeś pustą.

Musisz założyć, że już poszedłeś pierwszy i wybrałeś pustą teczkę. Oznacza to, że zostało 8 teczek, z których tylko 5 jest pustych.

Odpowiedź to

$$\frac{5}{8}.$$

Z tego samego powodu co powyżej, odpowiedź na nr 3 brzmi

$$\frac{6}{8}.$$

# 4 jest trudny i można go zaatakować na dwa różne sposoby.

Takie jest podejście pieszych

• masz szansę na teczkę z pieniędzmi, jeśli pójdziesz pierwszy $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• jeśli pójdziesz na drugim miejscu, są dwie możliwości - albo twój znajomy wybrał pustą teczkę, a potem jedną z pieniędzmi, albo twój przyjaciel wziął teczkę z pieniędzmi, a potem też wybrałeś jedną z pieniędzmi.

  Tutaj połączone prawdopodobieństwa są $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

Bardziej elegancka analiza zakłada, że ​​wybranie teczki jest matematycznym odpowiednikiem przypadkowego wręczenia teczki. Jeśli moderator wybierze losowo dwie teczki, jedną dla ciebie i jedną dla twojego przyjaciela, szansa, że ​​w twojej teczce są pieniądze, jest niezmieniona przez to, czy moderator wręczy ci teczkę przed, czy po tym, jak moderator wręczy twojemu przyjacielowi teczkę.

Edytuj
Źle zinterpretowałem

Gdyby gra kończyła się po wybraniu każdej teczki, czy lepiej byłoby zacząć, czy zająć drugie miejsce?

Jeśli pójdziesz pierwszy, otrzymasz 5 teczek, a twój przyjaciel dostanie tylko 4 teczki. Odpowiada to udawaniu , że jest 10 teczek zamiast 9, a dziesiąta teczka musi być pusta.

Dlatego jeśli pójdziesz pierwszy, będziesz miał 5 teczek, z których każda może mieć pieniądze. Jeśli pójdziesz drugi, jedna z twoich teczek (wyimaginowana dziesiąta teczka) zostanie zmuszona do opróżnienia.

Dlatego osoba, która zajmie drugie miejsce, może spodziewać się mniej pieniędzy.