Przecięcie Regular Open to Regular Open

Question

Poniżej znajduje się pytanie i próbowane przeze mnie rozwiązanie. Widziałem to pytanie wcześniej, ale ktoś przyjął bardziej „punktowe” podejście, jednak nie sądziłem, że takie podejście jest potrzebne. Dlatego zastanawiam się, czy następujący dowód / rozwiązanie jest poprawne.

Pozwolić $U$ i $V$ be Regular Open, tj $U = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U)$ i $V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(V)$. Pokaż, że przecięcie$U$ i $V$ jest Regular Open, tj $U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V)$.

(moje) rozwiązanie: dla dowolnych zestawów$U$ i $V$ mamy to $\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{cl}(V)$. Mamy monotonię wnętrza$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{int}(\operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{cl}(V))$. Ponieważ przecięcia są zachowane w odniesieniu do wnętrza, mamy to$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{int}\operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{int}\operatorname{cl}(V)$. Od$U$ i $V$ są Regular Open mamy następujące blokady:

$$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq U \cap V. \quad (i)$$

W przypadku innych włączeń zwróć uwagę, że dla wszystkich zestawów $U$ i $V$ mamy to $U \cap V \subseteq \operatorname{cl}(U \cap V) \quad (*)$. Od$U$ i $V$ są regularnie otwarte, są otwarte, dlatego $U \cap V$jest otwarte. Dlatego możemy pisać$U \cap V = \operatorname{int}(U \cap V)$. Przez$(*)$ mamy to $U \cap V \subseteq \operatorname{int}(\operatorname{cl}(U \cap V))$. Dlatego możemy pisać$$U \cap V \subseteq \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V). \quad (ii)$$

Zarówno $(i)$ i $(ii)$ następujące trzyma $$U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V),$$ zgodnie z życzeniem.

Answer 1

Tak, dowód jest w porządku.

Faktycznie, tylko jedno uwzględnienie wykorzystuje ten fakt $U$ i $V$ same są regularnie otwarte.

Mój podsumowany argument: as $U$ i $V$ są regularnie otwarte

$$U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl} U \cap \operatorname{int} \operatorname{cl} V\tag{1}$$

i jak szanuje wnętrze $\cap$ (tak jak szanuje zamknięcie $\cup$) podczas gdy na zamknięcie mamy $\operatorname{cl}( A \cap B) \subseteq \operatorname{cl} A \cap \operatorname{cl} B$ dla wszystkich $A,B$ (prawa strona jest zamknięta i zawiera $A \cap B$ a więc jego zamknięcie) otrzymujemy:

$$ U \cap V = \operatorname{int}( \operatorname{cl} U \cap \operatorname{cl} V) \supseteq \operatorname{int} \operatorname{cl}(U \cap V)\tag{2}$$

Tak jak $U \cap V$ jest otwarty i jest podzbiorem $\operatorname{cl}( U \cap V)$ trywialnie:

$$U \cap V \subseteq \operatorname{int} \operatorname{cl}(U \cap V)\tag{3}$$

i $(2)$ i $(3)$ w połączeniu pokaż wynik.