Quaternionic i oktonionic odpowiedniki problemu bazylejskiego
Zadałem to pytanie w MSE około 3 miesiące temu, ale nie otrzymałem jeszcze odpowiedzi, więc kierując się sugestią w komentarzach, postanowiłem zamieścić je tutaj.
To dobrze znany fakt
$$\sum_{0\neq n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{n^k} = r_k (2\pi)^k$$
dla dowolnej liczby całkowitej $k>1$, gdzie $r_k$są liczbami wymiernymi, które można podać wprost w postaci liczb Bernoulliego. Na przykład dla$k=2$ suma jest równa $\pi^2/3$(jest to zasadniczo problem Bazylei ) i dla$k=4$ to jest równe $\pi^4/45$. Zauważ, że dla dziwnych$k$ suma znika.
Teoria krzywych eliptycznych ze złożonym mnożeniem pozwala nam rozszerzyć ten wynik na układy złożonych liczb całkowitych, takich jak liczby całkowite Gaussa , lub bardziej ogólnie pierścień liczb całkowitych w urojonym polu liczb kwadratowych o numerze 1. Mianowicie, dla$k>2$ mamy
$$\sum_{0\neq \lambda\in\mathbb{Z[\omega]}} \frac{1}{\lambda^k} = r_k \varpi^k,$$
gdzie znowu $r_k$ są stałymi wymiernymi i $\varpi \in \mathbb{R}$ („kompleks $2\pi$”) zależy tylko od pierścienia $\mathcal{O}=\mathbb{Z[\omega]}$i jest algebraiczną wielokrotnością tak zwanego okresu Chowli – Selberga , daną przez iloczyn potęg pewnych czynników gamma (zauważ, że suma jest zawsze liczbą rzeczywistą, ponieważ jest niezmienna w przypadku koniugacji). Na przykład dla Eisenstein ($\omega = (1+\sqrt{3} i)/2$), Gaussa ($\omega = i$) i Kleinian ($\omega = (1+\sqrt{7} i)/2$) liczby całkowite, mamy odpowiednio
$$\varpi_3 = 3^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)}\right)^{3/2}, \quad \varpi_4 = 4^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\right), \quad \varpi_7 = 7^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/7)\Gamma(2/7)\Gamma(4/7)}{\Gamma(3/7)\Gamma(5/7)\Gamma(6/7)}\right)^{1/2}.$$
Dla liczb wyższych klas istnieje podobny wzór, chociaż w tym przypadku $r_k$generalnie nie będzie racjonalne, ale algebraiczne. Ładną prezentację tego wyniku można znaleźć w sekcji 6.3 tych uwag .
Moje pytanie brzmi, czy jest to nadal prawdziwe w przypadku systemów liczb hiperkompleksowych, takich jak liczby całkowite Hurwitza lub oktonionowe . Definiować$$S_k[\mathcal{O}] = \sum_{0\neq \lambda\in\mathcal{O}} \frac{1}{\lambda^k}$$ dla $k>\operatorname{dim} \mathcal{O}$, gdzie $\mathcal{O}$ jest teraz porządkiem w całkowicie określonej racjonalnej algebrze kwaternionu / oktonionu klasy numer 1. Ograniczenie $k$ jest taka, że suma jest zbieżna absolutnie.
Podpytanie 1: Czy mamy$S_k[\mathcal{O}] = r_k \varpi^k$ dla jakiejś racjonalnej kolejności $r_k$ i pewną liczbę rzeczywistą $\varpi$ w zależności tylko od $\mathcal{O}$ (a "quaternionic / oktonionic $2\pi$")?
Oczywiście $\varpi$zostaną zdefiniowane tylko do niezerowego racjonalnego czynnika. Równoważne pytanie brzmi:$(S_m[\mathcal{O}])^n/(S_n[\mathcal{O}])^m$ jest racjonalne dla każdego $m, n$ takie że $S_n[\mathcal{O}]\neq 0$.
Pytanie dodatkowe 2: Jeśli tak, to czy (jakiś stały wybór)$\varpi$ być wyrażone za pomocą znanych stałych, takich jak $\zeta'(-1)$ lub $\zeta'(-3)$?
Powodem, dla którego wspominam o tych konkretnych stałych, jest to, że w poprzednich przypadkach (rzeczywistych i złożonych) okres $\varpi$ okazuje się równy $e^{-\zeta'(\mathcal{O},0)/\zeta(\mathcal{O},0)}$ aż do współczynnika algebraicznego, gdzie funkcja zeta dołączona do pierścienia liczb całkowitych $\mathcal{O}=\mathbb{Z}$ lub $\mathbb{Z[\omega]}$ jest zdefiniowany jako
$$\zeta(\mathcal{O},s) = \sum_{0\neq \lambda\in\mathcal{O}} |\lambda|^{-s}.$$
(Na ogół nie jest to to samo, co poprzednie kwoty, zwróć uwagę na wartość bezwzględną). W takim razie$\mathcal{O}$ jest zamiast tego rzędem czwartorzędowym lub oktonionowym, pochodną logarytmiczną tej funkcji zeta w $s=0$ można wyrazić w kategoriach $\zeta'(-1)$ lub $\zeta'(-3)$ odpowiednio, gdzie $\zeta(s)$ jest zwykłą funkcją zeta Riemanna.
Obliczyłem numerycznie kilka sum dla pierścienia kwaternionów Hurwitza. Wynik to$$S_6[\mathcal{O}] \approx 10.76,\quad S_8[\mathcal{O}] \approx 1.196,\quad S_{12}[\mathcal{O}] \approx 23.9905.$$
Niestety obliczenia zajmują dużo czasu, a precyzja nie wystarcza do ustalenia, czy np $S_{12}[\mathcal{O}]/(S_6[\mathcal{O}])^2$ jest racjonalne w jakimkolwiek stopniu zaufania.
Znalazłem również ten niedawny artykuł Z. Amira-Khosraviego, który odnosi się do wcześniejszych prac R. Fuetera i R. Krausshara . Pewien$3$-parametr rodzina quaternionowych funkcji podobnych do Eisensteina związanych z kratą w $\mathbb{R}^4$zostaje wprowadzony i wykazuje, że ma on charakterystyczne dla okresu relacje przypominające te w złożonym przypadku. Niestety, forma tych funkcji jest ograniczona regularnością quaternionową do uwzględnienia czynników normy quaternionowej (por. Równania (2.5) - (2.7) w artykule) i, o ile widzę, nie są one bezpośrednio związane z sumami czystych mocy, które mnie interesują.
Odpowiedzi
To nie jest tak naprawdę pełna odpowiedź, ale jest za długa na komentarz, a być może mimo wszystko jest pouczająca.
Twoja suma $S_k[\mathcal{O}]$ można zapisać jako wartość w $s = k$ sumy $$\sum_{0 \ne \lambda \in \mathcal{O}} \frac{\lambda^k}{Nm(\lambda)^s} = \sum_{n \ge 1} a^{(k)}_n n^{-s},$$ gdzie $a^{(k)}_n := \sum_{N(\lambda) = n} \lambda^k$.
Teraz twierdzę, że $\sum_{n \ge 1} a^{(k)}_n q^n$ jest $q$-rozszerzenie formy modułowej - lub czegoś bardziej ogólnego, a mianowicie formy quasi-modularnej [*] - wagi $k + 2$ i pewien poziom w zależności od $\mathcal{O}$; dla liczb całkowitych Hurwitza poziom wynosi$\Gamma_0(2)$. Powinno to wynikać z myślenia o macierzach Brandta, które są sposobem obliczania form modularnych za pomocą algebr kwaternionów; zobacz np. ten artykuł Kimball Martina.
W każdym razie, kiedy już wiesz, czego szukać, teraz łatwo jest rozpoznać sekwencje $(a^{(k)}_n)_{n \ge 1}$ za małe $k$. Na przykład kiedy$k = 6$, otrzymujesz dokładnie plik $q$-ekspansja $12f_8$, gdzie $f_8$to wyjątkowa, znormalizowana modułowa forma guzków o wadze 8 i poziomie 2 . Więc$S_6[\mathcal{O}]$ jest wartością $L$-seria o budowie modułowej. W rzeczywistości mamy$S_6[\mathcal{O}] = 12 L(f_8, 6) = 10.758540419274832757072...$, co zgadza się z Twoimi obliczeniami powyżej. Podobnie, jeśli nie pomyliłem się w obliczeniach, mamy$$S_8[\mathcal{O}] = 12 \big( L(f_{10}, 8) - L(f_8, 7) \big) = 1.18636076594110...$$ gdzie $f_{10}$ jest postacią wierzchołkową wagi 10. Od okresów $f_{10}$ i $f_{8}$ zasadniczo nie mają ze sobą nic wspólnego, to silnie sugeruje, że nie ma między nimi uporządkowanej relacji algebraicznej $S_6[\mathcal{O}]$ i $S_8[\mathcal{O}]$.
[*] Formy quasi-modułowe nie są zbyt przerażające: są dokładnie pierścieniem funkcji, które otrzymujesz, zaczynając od oryginalnych form modułowych i dodając funkcję $E_2 = 1 - 24\sum \sigma(n) q^n$.
EDYTOWAĆ. Dalsze eksperymenty numeryczne sugerują następujący wyraźny wzór: jeśli$\mathfrak{S}(m)$ oznacza zbiór znormalizowanych nowych form o poziomie 2 i wadze $m$, to dla każdego $k \ge 6$ wydaje się, że mamy $$S_k[\mathcal{O}] = 12\left( \sum_{f \in \mathfrak{S}(k+2)} L(f, k) - \sum_{f \in \mathfrak{S}(k)} L(f, k-1) \right).$$