Ruchy Browna

Question

Jeśli $A_t$ i $B_t$ są niezależnymi ruchami Browna i $a$ to liczba, możemy tak powiedzieć $(\sin a )A_t+ (\cos a) B_t$ to także ruch Browna?

Answer 1

Jeśli $A_t$ i $B_t$ są więc niezależnymi ruchami Browna $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ jest centralnym procesem Gaussa (ze względu na niezależność, $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ ma prawo $N(0,(\sin(a)^2+\cos(a)^2)t)=N(0,t)$ na stałe $t$), a kowariancja procesu to

$$K(s,t)=\operatorname{Cov}(\sin(a)A_s+\cos(a)B_s,\sin(a)A_t+\cos(a)B_t)=\sin(a)^2s\wedge t+\cos(a)^2s\wedge t+0=s\wedge t$$

gdzie $s\wedge t$ (minimum $s$ i $t$) wynika z tego $A_t$ i $B_t$ są ruchami Browna i $0$ wynika z tego, że $A_t$ i $B_s$ są niezależne.

Pokazaliśmy to $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ jest centralnym procesem Gaussa z kowariancją $K(s,t)=s\wedge t$. Oczywiście trajektorie są nadal ciągłe, ponieważ mnożenie przez stałą zachowuje ciągłość, a suma dwóch funkcji ciągłych jest ciągła. To charakteryzuje ruchy Browna, więc tak, to jest zdecydowanie kolejny ruch Browna.