Trzech desperatów

Question

Trzej desperaci A, B i C grają w rosyjską ruletkę, w której na zmianę naciskają spust sześciocylindrowego rewolweru załadowanego jednym pociskiem. Za każdym razem, gdy magazynek jest obracany, aby losowo wybrać nowy cylinder do wystrzelenia, o ile śmiertelny strzał nie spadł. Desperado strzela w kolejności A, B, C, A, B, C,. . .. Określić dla każdego z trzech desperad prawdopodobieństwo, że ten desperado będzie tym, który zastrzelił się.

Muszę obliczyć prawdopodobieństwo, że A umiera przy $i$próba, więc B i C nigdy nie umierają. Jestem gruby$1$Mamy próbę, której nikt nie umiera $(\frac{5}{6})^3$. Jestem gruby$i$próba, której nikt nie umiera, powinniśmy mieć $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, dlatego

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

i od tego czasu $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

gdzie $A=[$Nie umieraj$]$. Zatem A powinien umrzeć o godz$i+1$próba z prawdopodobieństwem $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

Niestety wynik jest $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. Czemu?

Answer 1

Twoja notacja nadmiernie komplikuje problem. Prawdopodobieństwo, że broń jako pierwsza strzela na$i$-te naciśnięcie spustu jest $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... czyli prawdopodobieństwo, że pierwszy $i-1$ pociągnięcia za spust nie uruchamiają się, a następnie $i$-th jeden tak. $A$ umiera, jeśli zdarzy się to na pierwszym, czwartym, siódmym, itd ... pociągnięciu za spust: jeśli $i=3k+1$ dla jakiegoś naturalnego $k$. Więc$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ Dla kompletności, ponieważ $B$ i $C$ wymagać $i=3k+2$ i $i=3k+3$ odpowiednio, $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ i $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Możesz rozwiązać ten problem bez żadnego wymyślnego sumowania serii. Wiesz to:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Raz na sześć $A$przegra od razu. W innym$\frac{5}{6}$ przypadków, $A$ będzie w tej samej sytuacji $C$ jest na początku gry.

Następnie masz:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Jeśli A nie przegra na początku, $B$ przegra z prawdopodobieństwem $P(A)$.

Oczywiście masz też:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

ponieważ ktoś musi przegrać. Masz 3 równania i 3 niewiadome.