Uogólniona macierz Vandermonde

Question

Pozwolić $z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace 0 \right\rbrace$ być różnymi liczbami zespolonymi, $\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n$ dodatnie liczby całkowite i zdefiniuj $$A = \left( z_i^{\lambda_k}\right)_{i,j = 1,\ldots, n} = \begin{pmatrix} z_1^{\lambda_1} & z_1^{\lambda_2} & \cdots & z_1^{\lambda_n} \\ z_2^{\lambda_1} & z_2^{\lambda_2} & \cdots & z_2^{\lambda_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_n^{\lambda_1} & z_n^{\lambda_2} & \cdots & z_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$ Czy to prawda, że $A$ jest odwracalny?

Znalazłem to pokrewne pytanie, ale dotyczy ono pól skończonych, gdzie w moim przypadku podstawowym ciałem jest płaszczyzna zespolona.

Gdyby $\lambda_k = k -1 $ dla $k = 1, \ldots, n$, następnie $A$to dobrze znana matryca Vandermonde, więc w tym przypadku odpowiedź jest pozytywna. Próbowałem obliczyć wyznacznik$A$ analogicznie jak to się robi, jeśli $A$ to Vandermonde-Matrix, ale bez powodzenia.

Czy ktoś ma referencje lub dowód, który odpowiada na to pytanie?

Z góry dziękuję...

Answer 1

To niekoniecznie jest odwracalne. Rozważać$z_1 = 1, z_2 = -1$, z $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$. Wtedy otrzymana macierz jest$2 \times 2$ macierz jedynek, która jest wyraźnie nieodwracalna.

Aby zobaczyć, dlaczego to generalnie niekoniecznie jest odwracalne, pomyśl o macierzy Vandermonde'a jako o interpolacji wielomianowej. Na przykład normalna macierz Vandermonde'a daje$(n - 1)$Przechodzi wielomian stopnia $n$różne punkty. To, o co prosisz, to znalezienie wielomianu, którego współczynniki są równe zeru, z wyjątkiem współczynników do wyrazy$x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \cdots, x^{\lambda_n}$. Aby skonstruować kontrprzykład, wystarczy zauważyć, że taki wielomian ma$\lambda_n - \lambda_1$ niezerowe korzenie i jeśli $n$ tych $\lambda_n - \lambda_1$ mogliśmy znaleźć korzenie $n$ różne wartości do nadania $z_1, \cdots, z_n$ i czy macierz jest pojedyncza (dlaczego?).