Właściwość integracji

Question

Pozwolić $T>0$naprawiony. Pozwolić$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ funkcje różniczkowalne takie, że dla niektórych $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

wiem to $f\cdot g$ jest również integrowalna.

Pytanie. Czy to prawda, że$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Myślałem o zastosowaniu całkowania przez części, aby spróbować to udowodnić, ale nie mogłem nic wywnioskować.

Answer 1

To nieprawda. $f(x)=c+1$ i $g(x)=-1$ podaje kontrprzykład.

Jeśli jednak mamy również $g(x) \geq 0$ następnie $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ więc $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ co daje $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.