Znajdź długość $x$.

Question

Pozwolić $ABC$ być trójkątem prostokątnym o kącie prostym w $B$. Dwusieczne kątów$A$ i $C$ są rysowane, przecinając przeciwległe boki w $D$ i $E$odpowiednio. Jeśli się uwzględni$CD=12$ i $AE=8$ znajdź długość $AC$ (który został podany jako $x$w pytaniu). Ponadto niech punkty, w których kolano jest styczne do boku$AB$ i $BC$ być $F$ i $G$odpowiednio. (Diagram podany na końcu pytania)

Wypróbowałem dwa podejścia:

Podejście 1: Próbowałem użyć trygonometrii do tego. Pozwolić$\angle BAO= \alpha$. I pozwól$r$ być wielkością promienia w trójkącie $ABC$. Niech też$EF=y$ i $DG=z$. Następnie w$\triangle AGO$ i $\triangle OEG$, $z=r \tan \alpha$ i $z=\frac{r}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)} - 12 $. Łącząc oba, otrzymuję to:

$$12=r \left( \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)}- \tan \alpha \right) $$

Podobnie w $\triangle AGO$ i $\triangle OFD$ :

$$8= r \left( \dfrac{1}{\tan \alpha} - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \alpha\right) \right)$$

Podzielenie tych dwóch równań i uproszczenie przez pozwolenie $t=\tan \alpha$, Otrzymuję następujące wyrażenie: $t^3+4t^2-2t+2=0$ który ma niezwykle przerażające rozwiązanie, więc go zostawiłem.

Edycja : Jestem kompletnym głupcem i zrobiłem obliczenia źle: po podzieleniu upraszcza się do$(2t-1)(t+3)=0$ po czym natychmiast następuje $x=24$.

Podejście 2 (niekompletne): Więc zamiast korzystać z trygonometrii, tym razem spróbowałem użyć elementarnych technik. Od$\triangle AFO \sim \triangle OGD$, mamy $$\frac{r}{y}=\frac{z+12}{r} \implies r^2 = y(z+12)$$

podobnie $r^2=z(8+y)$. Łącząc te dwa, otrzymujemy$3y=2z$. Wartość$x=20+y+z$. Teraz tylko gdybym mógł znaleźć$y+z$pytanie byłoby zakończone. Czy ktoś mógłby dać jakąś wskazówkę lub mógłby podać lepsze rozwiązanie?

Schemat oryginalnego pytania:

Schemat oznaczony:

Answer 1

Pozwolić $BC=a$, $AB=c$ i $a=tc$.

Tak więc od $\frac{cx}{x+a}=8$ i $\frac{ax}{x+c}=12,$ otrzymujemy: $$\frac{a(x+a)}{c(x+c)}=\frac{3}{2}$$ lub $$\sqrt{a^2+c^2}(2a-3c)=3c^2-2a^2$$ lub $$\sqrt{t^2+1}(2t-3)=3-2t^2,$$ co daje $$\sqrt{1.5}<t<1.5$$ Teraz po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy: $$t(4t-3)(3t-4)=0,$$ co daje $$t=\frac{4}{3},$$ $$a=\frac{4}{5}x$$ i $$c=\frac{3}{5}x,$$ co daje $x=24.$