Если вы только смутно помните свой урок математики в начальной школе, возможно, вы не помните, что такое простое число. Это жаль, потому что, если вы пытаетесь защитить свою электронную почту от хакеров или конфиденциально просматривать веб-страницы в виртуальной частной сети (VPN), вы используете простые числа, даже не осознавая этого.
Это связано с тем, что простые числа являются важной частью шифрования RSA , распространенного инструмента защиты информации, который использует простые числа в качестве ключей для разблокировки сообщений, скрытых в гигантских объемах того, что замаскировано под цифровой тарабарщину. Кроме того, простые числа имеют и другие приложения в современном технологическом мире, включая важную роль в определении интенсивности цвета пикселей на экране компьютера, на который вы сейчас смотрите.
Так что же такое простые числа? И как они стали такими важными в современном мире?
Как объясняет Wolfram MathWorld , простое число, также известное как простое число, - это положительное число больше 1, которое можно разделить только на единицу и само себя.
«Единственное четное простое число - 2», - объясняет Деби Минк , недавно вышедший на пенсию адъюнкт-профессор образования Университета Индианы на юго-востоке, чей опыт включает преподавание элементарной математики. «Все остальные простые числа - нечетные числа».
Такие числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17 считаются простыми числами. Такие числа, как 4, 6, 8, 9, 10 и 12 - нет.
Марк Зегарелли, автор множества книг по математике из популярной серии «Для чайников», который также преподает курсы подготовки к экзаменам, предлагает иллюстрацию с монетами, которую он использует с некоторыми из своих учеников, чтобы объяснить разницу между простыми числами и составными числами , которые могут быть делятся на другие числа, кроме одного и самих себя. (Составные числа противоположны простым числам.)
«Подумайте о числе 6», - говорит Зегарелли, цитируя составное число. «Представьте, что у вас есть шесть монет. Вы можете сформировать из них прямоугольник с двумя рядами по три монеты. Вы можете сделать то же самое с восемью, поместив четыре монеты в два ряда. С числом 12 вы можете превратить его в прямоугольников более одного типа - у вас может быть два ряда по шесть монет или три раза по четыре ».
«Но если вы возьмете цифру 5, как бы вы ни пытались, вы не сможете поместить ее в прямоугольник», - отмечает Зегарелли. «Лучшее, что вы можете сделать, - это связать его в линию, в один ряд из пяти монет. Итак, вы могли бы назвать 5 непрямоугольным числом. Но более простой способ сказать это - назвать это простым числом».
Есть много других простых чисел - 2, 3, 7 и 11 также находятся в списке, и оттуда они продолжают катиться. Греческий математик Евклид примерно в 300 г. до н.э. разработал Доказательство бесконечности простых чисел, которое, возможно, было первым математическим доказательством, показывающим, что существует бесконечное число простых чисел. (В Древней Греции, где современная концепция бесконечности была не совсем понятна, Евклид описал количество простых чисел просто как «больше, чем любое заданное множество простых чисел». )
По словам Зегарелли, еще один способ понять простые и составные числа - рассматривать их как произведение факторов. «2 умножить на 3 равно 6, поэтому 2 и 3 являются множителями 6. Итак, есть два способа сделать шесть - 1 умножить на 6 и 2 умножить на 3. Мне нравится думать о них как о парах множителей. число, у вас есть несколько пар факторов, в то время как с простым числом у вас есть только одна пара факторов, умноженная на само число ".
По словам Зегарелли, доказать, что число простых чисел бесконечно, не так уж и сложно. "Представьте, что есть последнее, самое большое простое число. Мы назовем его P. Итак, я возьму все простые числа до P и умножу их все вместе. Если я сделаю это, и прибавлю единицу к произведению , это число должно быть простым. "
Напротив, если число составное, оно всегда делится на некоторое количество меньших простых чисел. «Составной элемент также может быть разделен на другие композиты, но в конечном итоге вы можете разложить его на набор простых чисел». (Пример: число 48 имеет 6 и 8 в качестве факторов, но вы можете разбить его дальше на 2 раза 3 раза 2 раза 2 раза 2.)
Почему простые числа имеют значение
Так почему же простые числа так увлекали математиков на протяжении тысячелетий? Как объясняет Зегарелли, большая часть высшей математики основана на простых числах. Но есть также криптография, в которой простые числа имеют решающее значение, потому что действительно большие числа обладают особенно ценной характеристикой. По его словам, нет простого и быстрого способа определить, простые они или составные.
Трудность различения огромных простых чисел и огромных составных чисел позволяет криптографу составлять огромные составные числа, которые являются делителями двух действительно больших простых чисел, состоящих из сотен цифр.
«Представьте, что замок на вашей двери - это 400-значное число», - говорит Зегарелли. «Ключ - это одно из 200-значных чисел, которые были использованы для создания этого 400-значного числа. Если у меня в кармане есть один из этих факторов, у меня есть ключ от дома». у меня нет этих факторов, это чертовски сложно попасть.
Вот почему математики продолжали работать, чтобы придумывать все более крупные простые числа в текущем проекте под названием Great Internet Mersenne Prime Search . В 2018 году этот проект привел к открытию простого числа, состоящего из 23 249 425 цифр, достаточного, чтобы заполнить 9000 страниц книги, как описал его математик из Портсмутского университета (Англия) Иттай Вайс в своей книге The Conversation . Потребовалось 14 лет вычислений, чтобы найти гигантское простое число, которое более чем в 230000 раз больше, чем предполагаемое количество атомов в наблюдаемой Вселенной!
Вы можете себе представить, какое впечатление это могло произвести на Евклида.
Теперь это круто
Хотя многие полагали, что простые числа случайны, в статье 2016 года два математика из Стэнфордского университета описали ранее неизвестную очевидную закономерность, в которой за простыми числами, как правило, следовали другие простые числа, оканчивающиеся на определенные цифры, как это подробно описано в статье Wired . Например, среди первого миллиарда простых чисел за простым, заканчивающимся на 9, примерно на 65 процентов больше шансов следовать простому числу, заканчивающемуся на единицу, чем за простым, заканчивающимся на девять.
