Вы, вероятно, имеете интуитивное представление о том, что такое круг : форма баскетбольного кольца, колеса или четверти. Вы, возможно, даже помните из средней школы, что радиус - это любая прямая линия, которая начинается от центра круга и заканчивается по его периметру.
Единичный круг - это просто круг с радиусом, равным 1. Но часто он сопровождается некоторыми другими особенностями.
Единичный круг можно использовать для определения отношений прямоугольного треугольника, известных как синус, косинус и тангенс. Эти отношения описывают, как углы и стороны прямоугольного треугольника соотносятся друг с другом. Скажем, например, у нас есть прямоугольный треугольник с углом 30 градусов, а длина самой длинной стороны, или гипотенузы, равна 7. Мы можем использовать наши предопределенные отношения прямоугольного треугольника, чтобы вычислить длины оставшихся двух сторон треугольника. .
Эта ветвь математики, известная как тригонометрия , имеет повседневные практические применения, такие как строительство, GPS, сантехника, видеоигры, инженерное дело, плотник и авианавигация.
Чтобы запомнить стандартный единичный круг, нам нужно вспомнить три основных компонента:
- Четыре квадранта
- 16 углов
- (x, y) координаты для каждого из 16 углов, где радиус касается периметра круга
В помощь вспомним поездку в Unit Pizza Palace. Выделите несколько минут, чтобы запомнить следующее, пока вы не сможете повторить его, не глядя:
- 4 кусочка пиццы
- 3 пирога по 6 долларов
- 2 квадратных стола
- 1 , 2, 3
Шаг 1: 4 кусочка пиццы
Представьте себе пиццу целиком, разрезанную на четыре ровных ломтика. В математике мы бы назвали эти четыре части круга квадрантами .
Мы можем использовать координаты (x, y) для описания любой точки вдоль внешнего края круга. Координата x представляет собой расстояние, пройденное влево или вправо от центра. Координата Y представляет собой пройденное расстояние вверх или вниз. Координата x - это косинус угла, образованного точкой, началом координат и осью x. Координата Y - это синус угла.
В единичном круге прямая линия, идущая вправо от центра круга, достигнет края круга в координате (1, 0). Если бы мы вместо этого пошли вверх, влево или вниз, мы коснулись бы периметра в точках (0, 1), (-1, 0) или (0, -1) соответственно.
Все четыре связанных угла (в радианах, а не в градусах) имеют знаменатель 2. (Радиан - это угол, полученный при измерении радиуса и его обертывании по кругу. Градус измеряет углы по пройденному расстоянию. Круг равен 360 градусам или 2π радиан).
Числители начинаются с 0, начиная с координаты (1,0), и ведут счет против часовой стрелки на 1π. Этот процесс даст 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 и 3π / 2. Упростите эти дроби, чтобы получить 0, π / 2, π и 3π / 2.
Шаг 2: 3 пирога по 6 долларов.
Начните с «3 пирожков». Посмотрите на ось Y. Все радианные углы справа и слева от оси Y имеют знаменатель 3. Каждый оставшийся угол имеет числитель, который включает математическое значение пи, записанное как π.
«3 пирога на 6» используется для вызова оставшихся 12 углов в стандартном единичном круге с тремя углами в каждом квадранте. Каждый из этих углов записан дробью.
Выражение «за 6 долларов» напоминает нам, что в каждом квадранте оставшиеся знаменатели равны 4, а затем 6.
Самая сложная часть этого шага - заполнение числителя для каждой дроби.
В квадранте 2 (верхняя левая четверть круга) поставьте 2, затем 3, затем 5 перед π.
Ваш первый угол в квадранте 2 будет 2π / 3. Если сложить 2 в числителе и 3 в знаменателе, получится 5. Посмотрите на угол в квадранте 4 (нижняя правая четверть круга). Поместите эту 5 в числитель перед π. Повторите этот процесс для двух других углов в квадрантах 2 и 4.
Мы повторим тот же процесс для квадрантов 1 (вверху справа) и 3 (внизу слева). Помните, что точно так же, как x - это то же самое, что 1x, π - то же самое, что 1π. Итак, мы добавляем 1 ко всем знаменателям в квадранте 1.
Процесс перечисления углов в градусах (а не радианах) описан в конце этой статьи.
Шаг 3: 2 квадратных стола
Цифра 2 в «2 квадратных таблицах» напоминает нам, что все оставшиеся 12 пар координат имеют знаменатель 2.
«Квадрат» напоминает нам, что числитель каждой координаты включает квадратный корень. Мы только начинаем с квадранта 1, чтобы упростить ситуацию. (Подсказка: помните, что квадратный корень из 1 равен 1, поэтому эти дроби можно упростить до 1/2.)
Шаг 4: 1, 2, 3
«1, 2, 3» показывает последовательность чисел под каждым квадратным корнем. Для координат x квадранта 1 мы считаем от 1 до 3, начиная с верхней координаты и идя вниз.
Координаты Y имеют те же числители, но отсчитывают от 1 до 3 в противоположном направлении, снизу вверх.
Квадрант 2 имеет те же координаты, что и квадрант 1, но координаты x отрицательны.
Квадрант 3 переключает координаты x и y с квадранта 1. Все координаты x и y также отрицательны.
Подобно квадранту 3, квадрант 4 также переключает координаты x и y из квадранта 1. Но только координаты y отрицательны.
Углы в градусах
Вы можете указать углы в градусах, а не в радианах. Для этого начните с 0 градусов по координате (1,0). Оттуда мы прибавим 30, 15, 15, а затем 30. В квадранте 1 мы прибавляем 30 к 0, чтобы получить 30, прибавляем 15 к 30, чтобы получить 45, прибавляем 15 к 45, чтобы получить 60, и прибавляем 30 к 60, чтобы получить 90.
Затем мы повторяем процесс для оставшихся квадрантов, добавляя 30, 15, 15 и 30, пока не дойдем до конца круга. Таким образом, квадрант 4 будет иметь углы от 270 до 330 градусов (см. Рисунок 10).
Применяем это на практике
Ранее в статье мы упоминали, что единичный круг можно использовать для поиска двух неизвестных сторон прямоугольного треугольника с углом 30 градусов, а самая длинная сторона, или гипотенуза, имеет длину 7. Давайте попробуем.
Обратите внимание на положение 30 ° на единичной окружности. Используйте эту линию и ось x, чтобы создать треугольник следующим образом.
В единичном круге любая линия, которая начинается в центре круга и заканчивается по его периметру, будет иметь длину 1. Таким образом, самая длинная сторона этого треугольника будет иметь длину 1. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника равна также известна как «гипотенуза». Точка, где гипотенуза касается периметра окружности, находится в √3 / 2, 1/2.
Итак, мы знаем, что основание треугольника (по оси x) имеет длину √3 / 2, а высота треугольника равна 1/2.
Можно подумать по-другому: основание в √3 / 2 раза больше длины гипотенузы, а высота в 1/2 раза больше длины гипотенузы.
Итак, если длина гипотенузы равна 7, основание нашего треугольника будет 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2. Высота треугольника будет равна 7 x 1/2 = 7/2.
Вот это интересно
Считается, что тригонометрия была первоначально разработана в I веке до нашей эры для понимания астрономии, изучения звезд и солнечной системы. Он до сих пор используется в исследованиях космоса такими организациями, как НАСА и частными транспортными компаниями.
