Многие из вас наверняка не просто слышали о матрицах, а изучали их в университете или средней школе. Когда я был первокурсником и проходил курс алгебры в университете, я не мог понять, зачем учить матрицы. Единственные вопросы, которые у меня были в голове, были: «Почему людей волнуют матрицы? Зачем нам нужно учиться умножать их и находить обратные матрицы?», несмотря на то, что мы были лучшими учениками. Хотя потом узнал. Итак, позвольте мне показать вам, насколько мощными могут быть матрицы.

На первый взгляд, матрица — это просто таблица чисел. Это не выглядит впечатляюще, и до сих пор непонятно, зачем нам нужно представлять числа именно так.

Возможно, вы слышали о наглядном и простом применении матриц — они используются для решения линейных систем уравнений, которые обычно имеют огромные размеры (даже порядка миллионов). Вкратце, каждую систему линейных уравнений можно представить в виде A x = b , где:

• A - матрица коэффициентов
• x - матрица-столбец неизвестных
• b — матрица-столбец, содержащая константы правых частей уравнений

На самом деле матрицы — это нечто большее, чем просто таблица чисел. Это «волшебный» инструмент, который может помочь вам изменить пробелы.

Рассмотрим следующий треугольник из трех векторов в декартовой системе координат:

Что если мы захотим повернуть этот треугольник на 90 градусов? Самый простой способ добиться этого — использовать матрицы! Сначала запишем координаты соответствующих векторов в виде матрицы, зная, что a = (0, 1), b = (2, -1), c = (-2, 0):

Матрица поворота на угол α выглядит следующим образом:

Следовательно, матрица поворота на 90° равна

Чтобы повернуть наш треугольник на 90°, нам нужно найти матричное произведение R и A :

Таким образом, преобразованные векторы равны (-1, 0), (1, 2) и (0, -2):

Итак, это простой, но впечатляющий пример того, как матрицы могут помочь нам вращать векторы в определенном базисе векторов. На самом деле матрицы могут делать гораздо больше, чем просто вращение. Например, давайте найдем произведение случайной обратимой матрицы (назовем ее S ) и нашей матрицы A :

Итак, на следующем изображении вы можете увидеть растянутый исходный треугольник. Линии исходной сетки пунктирны, а серые линии представляют растянутые линии сетки.

Как видите, мы можем изменять фигуры и поверхности с помощью матриц. Чтобы применить несколько модификаций к векторам, вы должны умножить их на левую часть выражения. Следовательно, если вы хотите растянуть наш треугольник, а затем повернуть его, матрица модифицированных векторов будет выглядеть следующим образом:

Вот результат на графике:

Итак, если вы хотите вернуть наш новый треугольник в исходное состояние, вам следует применить обратные матрицы:

Как видите, матрицы могут точно математически описывать интуитивно понятные вещи. Более того, множество всех обратимых матриц 2 × 2 образует группу по умножению ! Если вы не знаете, что такое группы, посмотрите мою статью о них .

Действительно, набор обратимых матриц 2×2 (назовем его M) удовлетворяет всем свойствам группы:

1. Для любых двух матриц из M их произведение принадлежит M. Очевидно, что произведение матриц — это матрица, но всегда ли она будет обратимой матрицей? Таким образом, поскольку det(AB) = det(A) det(B) и det(A) и det(B) не равны 0, det(AB) также не равно 0 и AB является обратимой матрицей
2. Для любых трех матриц в M, независимо от того, в каком порядке вы применяете умножение. Итак, (AB) C = A (BC) Внимание! Для произвольных матриц AB ≠ BA
3. Единичная матрица 2 × 2 I является нейтральным элементом в этом множестве.
4. Для любой обратимой матрицы A 2 × 2 всегда существует обратная матрица A⁻¹ и A⁻¹ A = AA⁻¹ = I

использованная литература

[1] Т. Панов (2019). Линейная алгебра и геометрия

[2] А. Кострикин, Ю. Манин. Линейная алгебра и геометрия

[3] Сократика. Курс абстрактной алгебрыhttps://www.socratica.com/subject/abstract-algebra

[4] 3Синий1Коричневый. Умножение матриц как композицияhttps://www.youtube.com/watch?v=XkY2DOUCWMU