Czy regularne pomiary są ciągłe?
Jestem na kursie teorii miary i od samego początku budujemy miary, zaczynając od półalgebr $\mathcal{S}$ i udowadniając twierdzenia o rozszerzeniu, aby przejść do miar $\sigma$-algebry.
Teraz udowodniliśmy twierdzenie Caratheodory'ego o przedłużeniu, twierdząc, że możemy przedłużyć $\sigma$miara addytywna zdefiniowana na półalgebrze $\mathcal{S}$ lub na wygenerowanej algebrze $\mathcal{A}(\mathcal{S})$ do $\sigma$-addytywna miara na $\sigma$-algebra $\mathcal{F}(\mathcal{S})$ (wyjątkowo, jeśli zaczęliśmy od pliku $\sigma$miara skończona).
Obecnie planujemy wykorzystać to do skonstruowania miary Lebesgue'a $\lambda$ na $\mathbb{R}$. Musimy więc znaleźć sposób, aby udowodnić, że miara Lebesgue'a jest$\sigma$-addytyw na interwały algebry os $\mathcal{A}(\mathcal{S})$.
Dowód przedstawiony na zajęciach był szczególnym przykładem ogólnego faktu: jeśli $\mu$ jest miarą skończenie addytywną i regularną zdefiniowaną na algebrze, to jest $\sigma$-przyłączeniowy.
Zastanawiałem się jednak, czy możliwe byłoby inne podejście. Fakt ten wydaje się być silnie zależny od właściwości topologicznych przestrzeni bazowej, ale zastanawiałem się, czy (nieco) bardziej ogólny wynik jest prawidłowy:
Gdyby $\mu:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ jest miarą skończoną addytywną i regularną zdefiniowaną na algebrze $\mathcal{A}$, to jest ciągła od dołu.
Można udowodnić, że ciągłość od dołu implikuje dodatek sigma, więc jest to nieco bardziej ogólny wynik.
Oto moja próba dowodu:
Pozwolić $E_k, E\in\mathcal{A}$, gdzie $E_k$ wzrasta do $E$tj. $E_k\subset E_{k+1}$ i $E = \cup E_k$. Dla każdego$\varepsilon>0$systematycznie jest to zwarty zestaw $K\subset E$, $K \in \mathcal{A}$ takie że
\ begin {equation} \ mu (E) - \ varepsilon <\ mu (K) \ leq \ mu (E) \ end {equation}
Mam zamiar to pokazać, cokolwiek to jest $K$, tam jest $n$ takie że $\mu(K)\leq\mu(E_n)$. W ten sposób, gdy bierzemy supremum nad wszystkimi kompaktowymi zestawami$K\subset E$rozumiemy $\mu(E_n)\to\mu(E)$.
Próbowałem różnych podejść, aby to udowodnić, ale nie udało mi się.
Edycja 1: Zgodnie z sugestią, podaję definicję prawidłowości w tym kontekście.
Miara $\mu:\mathcal{S}\to [0,+\infty]$ zdefiniowane w klasie zbiorów $\mathcal{S}$ w przestrzeni topologicznej mówi się, że jest regularna, jeśli, dla każdego $A\in\mathcal{S}$:
\ begin {equation} \ mu (A) = \ inf \ {\ mu (G) | A \ podzbiór G, G \ in \ mathcal {S}, G \ text {otwórz} \} = \ sup \ {\ mu (K) | K \ subset A, K \ in \ mathcal {S}, K \ text {kompakt} \} \ end {equation}
Odpowiedzi
Brać $A_n$ sekwencja rosnących zbiorów $\mathcal{A}$ takie że $A = \underset{n \geq 1}{\bigcup}A_n \in \mathcal{A}$. Chcemy to pokazać$\lim \mu(A_n) = \mu(A)$
Od $A_n \subset A, \forall n \geq 1$, następnie $\mu(A_n) \leq \mu(A) \implies \lim \mu(A_n) \leq \mu(A)$. W przypadku innej nierówności możemy postrzegać tę rosnącą sekwencję zbiorów jako rosnącą rozłączną sumę zbiorów poprzez definiowanie$B_1 = A_1$ i $B_n = A_n-A_{n-1}, \ n \geq 2$. Mamy$B_n \in \mathcal{A}, \ \forall n \geq 1$ od $\mathcal{A}$ jest algebrą i $A_m = \sum\limits_{n=1}^mB_n$gdzie notacja sumy jest używana do oznaczenia sumy par rozłącznych zbiorów. Zauważ, że od$\mu$ jest więc ostatecznie addytywna $\mu(A_m) = \sum\limits_{n=1}^m\mu(B_n)$ a teraz użyjemy, że miara jest regularna:
Pozwolić $\epsilon>0$ i $U_n$ być takim otwartym zestawem $B_n \subset U_n$ i $\mu(B_n) \leq \mu(U_n) \leq \mu(B_n) + \frac{\epsilon}{2^n}$ i pozwól $K \subset A$być kompaktowym zestawem. Zauważ, że$K \subset A = \sum\limits_{n\geq 1}B_n \subset \underset{n\geq 1}{\bigcup}U_n$, dlatego przez zwartość $K$, tam istnieje $m'$ takie że $K \subset \bigcup\limits_{n=1}^{m'}U_n$ co oznacza $\mu(K) \leq \mu(\bigcup\limits_{n=1}^{m'}U_n) \leq \sum\limits_{n=1}^{m'}\mu(U_n) \leq \sum\limits_{n\geq 1}\mu(B_n) + \epsilon$, od $\epsilon$ jest więc arbitralne $\mu(K) \leq \sum\limits_{n\geq 1}\mu(B_n) = \underset{m \to \infty}{\lim}\sum\limits_{n=1}^m\mu(B_n) = \underset{m \to \infty}{\lim}\mu(A_m)$, ponieważ dotyczy to każdego zestawu kompaktowego zawartego w $A$, i $\mu(A)$ jest więc wyższością miar wszystkich takich zwartych zbiorów $\mu(A) \leq \lim\mu(A_n)$.