Dowód na kryterium Abla

Question

Chcę udowodnić następujące stwierdzenie:

Zostawiać $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ zbieżna seria i $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$monotoniczna i ograniczona sekwencja. Następnie$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ jest również zbieżna.

Wiem, że istnieje już kilka pytań dotyczących tego problemu, jednak w większości mają one dodatkowe założenia (tj $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ z $b_k\geq 0$ dla wszystkich $k$).

---

Moje podejście:

Definiujemy $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. Tak jak$A_n$ jest zbieżna, istnieje granica $A$ takie że $|A_n|\leq A$ dla wszystkich $n$. Wiemy to$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ jest zbieżna i stąd kolejność $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$jest również zbieżna (iloczyn dwóch zbieżnych sekwencji). Zostawiać$n_1$ i $n_2$ dwa wskaźniki takie, że dla wszystkich $n,m$ z $n>m>n_1$ zawiera $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ i dla wszystkich $n,m$ z $n>m>n_2$ zawiera $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. Teraz definiujemy$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. Mając to na uwadze, stosujemy lemat Abla (sumowanie przez części) i wynika z niego dla wszystkich$n>m>n_0$:

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ Jeśli $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ zmniejsza się monotonicznie i wygląda następująco: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

Jeśli $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ rośnie monotonicznie, a więc: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ Tak więc w obu przypadkach $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ spełnia kryterium Cauchy'ego i dlatego jest zbieżny.

Czy to prawda, czy jest bardziej eleganckie / szybsze podejście?

Answer 1

W innym podejściu możemy pokazać, że sekwencja sum częściowych jest zbieżna bez użycia kryterium Cauchy'ego. Istnieją ograniczenia$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ i $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

Podsumowując częściami, otrzymujemy

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

Serie $\sum(b_k - b_{k-1}) $ zbiega się od $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ tak jak $n \to \infty$. Od$(A_k)$ jest sekwencją ograniczoną i warunkami $(b_k- b_{k+1})$ wszystkie mają ten sam znak, wynika z tego $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ jest zbieżna.

Dlatego seria $\sum a_kb_k$ zbiega się od

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

Wynika to z kryterium Dirichleta. Rzeczywiście, przypuśćmy$b_k \le b_{k+1}$ i $\lim b_k = b$.

Następnie

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

Pierwsza suma jest zbieżna, ponieważ jest hipotezą, a zbieżność drugiej sumy wynika z powyższego twierdzenia.

Ale to nie jest poprawa w stosunku do twojego argumentu, ponieważ zwykły dowód kryterium Dirichleta jest wykonywany poprzez sumowanie części.