Geometryczna interpretacja macierzy $A-B$

Question

Czy istnieje geometryczna interpretacja odejmowania dwóch macierzy, ze specjalnym przypadkiem $I -A$ (odejmowanie macierzy od macierzy tożsamości)?

Odniesienie: If $A$ jest macierzą idempotentną, zakres $A$ i zakres $I-A$są rozłącznymi zbiorami. Próbuję zrozumieć to geometrycznie.

Jeśli ktoś potrafi geometrycznie wyjaśnić ogólny przypadek odejmowania macierzy, będzie to dobra pomoc.

Answer 1

Myślę, że nie ma ogólnej odpowiedzi $A-B$, ale w przypadku $I-A$, a dokładniej w przypadku $Q=I-P$ gdzie $P$ jest macierzą rzutu ortogonalnego (tj. macierzą idempotentną, jak mówisz) w pewnej podprzestrzeni $S$, następnie $Q=I-P$ jest rzutem ortogonalnym na dopełnienie ortogonalne $S^{\perp}$ z $S$.

Na przykład w 3D rozważ linię $S$ z równaniami $x=y=z$, z znormalizowanym wektorem jednostkowym $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Macierz rzutu ortogonalnego na$S$ jest macierzą rzędu pierwszego (rzędu pierwszego, ponieważ przestrzeń rozstępu jest jednowymiarowa):

$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

i

$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$

jest rzutem ortogonalnym na płaszczyznę $S^{\perp}$ ortogonalne do $S$ z równaniem $x+y+z=0$, (z macierzą rzędu 2, ponieważ przestrzeń zakresu jest teraz 2-wymiarowa).