Pozwolić $n$ być wielkością trójkąta i $(a,b,c)$ współrzędne barycentryczne danego sześciokąta w tym trójkącie, takie, że $a+b+c = n+2$. Twierdzę, że średni czas ucieczki$E$ zaczynając od tego sześciokąta $\frac {3abc} {n+2}$(1). Rzeczywiście, mamy układ równań$E(a,b,c) = 1 + \frac{E(a+1,b-1,c) + E(a,b+1,c-1) + E(a-1,b,c+1) + E(a-1,b+1,c) + E(a,b-1,c+1) + E(a+1,b,c-1)} {6}$
i łatwo jest sprawdzić, czy plik $E$ podane przez (1) spełnia te równania i warunki brzegowe, które są $E(a,b,c) = 0$ gdyby $a=0 \vee b=0 \vee c=0$.

Pozostaje do uśrednienia punktów początkowych: $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \sum_{a+b+c = 19} \frac {3abc} {19}$ Suma ta może zostać uznana za poprzedzającą współczynnik dwumianowy $\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix}$ wydajność $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \times \frac {3} {19} \times\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix} = 21$

Aby uzyskać intuicję dotyczącą formuły $\begin{pmatrix}N+2n \\ 2n+1 \end{pmatrix} = \sum_{i_0,\ldots,i_n \ge 1, i_0+\ldots+i_n = N+n} i_0 \cdots i_n$Przypomnijmy, że współczynnik dwumianu na lhs można zinterpretować jako objętość (liczbę kul armatnich) w 2n + 1-wymiarowym stosie kul armatnich w kształcie piramidy z N kulami armatnimi wzdłuż każdej krawędzi. Można to pokazać za pomocą rutynowej argumentacji typu gwiazdy i słupki z wykorzystaniem współrzędnych barycentrycznych.
Źródło: wikipedia domena publiczna

Pozostawiając subtelności dyskretyzacji na boku, rzutujmy na $2n+1$-simplex (który ma $2n+2$ współrzędne barycentryczne) do $n$-simplex (który ma $n+1$współrzędne barycentryczne), po prostu łącząc współrzędne i sumując pary. Możemy teraz zapytać, jaki jest kształt i objętość podzbioru dużego simplexu, który jest mapowany do pojedynczego punktu w małym simplex? Można się
domyślić , że musi to być (hiper) prostopadłościan, ale może łatwiej spojrzeć na obrazek: Źródło: wikipedia CC BY-SA 4.0 Tomruen

Honeybee Hangover

Odpowiedzi