$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ dla każdej teorii $T$, każdy kardynał $\lambda$.

Question

Pozwolić $T$ być kompletną teorią pierwszego rzędu.

Zarozumiały $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, czy to oczywiste $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? Pytanie wywołało przyjrzenie się przypuszczeniom Vaught na Wikipedii. Nie mam zbyt dużej wiedzy na temat teorii modeli, więc może to być oczywiste, a ja po prostu jestem głupi lub mogę korzystać z technologii, której jeszcze nie omówiłem. A może jest to prawdą tylko wtedy, gdy$\lambda = \aleph_0$ ?

Jedyne, co przychodzi mi do głowy, to policzyć liczbę modeli nieizomorficznych w oparciu o typy, które spełniają, ale nie sądzę, aby to całkiem działało.

Answer 1

W otoczeniu, które opisujesz, jest ich najwyżej $2^\lambda$ $L$-struktury, a więc na pewno nie więcej niż $2^\lambda$ izomorfizm klasy modeli $T$.

Napraw a $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, i pozwól $M$ być zbiorem liczności $\lambda$.

Dla każdego $n$-arny symbol funkcji $f$ musimy interpretować $f$ jako funkcja $f : M^n \to M$. Są dokładnie$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$wiele takich funkcji do wyboru. Podobnie dla każdego$n$-arny symbol relacji, który mamy $2^\lambda$ opcje do wyboru, a dla każdego stałego symbolu mamy tylko $\lambda$ opcje do wyboru.

Tak więc dla każdego symbolu w języku mamy co najwyżej $2^\lambda$wybory. Ponieważ jest ich najwyżej$\lambda$ symboli w języku, całkowita liczba wyborów, których musimy dokonać, wynosi najwyżej $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.