Ile parametrów jest szacowanych w modelu 2PL?

Question

Jestem zaznajomiony z modelami 1PL IRT, w których masz jakąś macierz danych i modelujesz czynniki ukryte, theta (cecha / zdolność) i (przedmiot) trudność.

data = np.array([[1,1,1,1],
                 [1,1,1,0],
                 [1,1,0,0],
                 [1,0,0,0],
                 [0,0,0,0]])

theta = [t1,t2,t3,t4,t5]
difficulty = [d1,d,2,d3,d4]

Rozważ test językowy dla dzieci, w którym każdy wiersz reprezentuje inne dziecko, a każda kolumna przedstawia inne pytanie. Czyli macierz danych w określonym wierszu / kolumnie przechwytuje odpowiedź danego dziecka na dane pytanie. Model 1PL sigmoid(t-d)uczy się tych ukrytych cech, dzięki czemu możesz oszacować trudność każdego pytania i umiejętności każdego dziecka. Zauważ, że w modelu 1PL jest 9 parametrów (5 dzieci, 4 pytania).

Teraz model 2PL przybiera nieco inną postać sigmoid(a(t-d)), gdzie a jest czynnikiem dyskryminacji. Nie jestem pewien, czy a to:

1. Wartość skalarna, która jest taka sama, niezależnie od parowania elementu podrzędnego / elementu. (Łącznie 10 parametrów)
2. Tablica o długości 5, jeden element na dziecko. (14 parametrów)
3. Tablica o długości 4, jeden element na pytanie. (13 parametrów)
4. Macierz, jeden element na każde sparowane dziecko / element. (29 parametrów)

Q1. która z powyższych jest wersją kanoniczną modelu 2PL? (lub jeśli jest to inna konfiguracja nie wymieniona powyżej).

Q2. Jaki jest dobry wybór Prior dla? (Użyłem rozkładu normalnego w interpretacji 2 powyżej do niestabilnych wyników przy użyciu metod MCMC dla podejścia bayesowskiego.)

Dzięki!

Answer 1

Q1 Jednoparametrowy model logistyczny (1PL) przewiduje$i^{th}$ odpowiedzi uczniów na $j^{th}$ pozycja jako funkcja zdolności uczniów $\theta_i$, the $j^{th}$ poziom trudności przedmiotu $b_j$i wspólne nachylenie $a$. W teście z 4 pozycjami (Twój przykład) wymaga to oszacowania parametrów 5 pozycji - wspólnego nachylenia i 4 parametrów trudności.

$P(X_{ij} = 1|\theta_i) = \frac{exp[a(\theta_i-b_j)]}{1+exp[a(\theta_i-b_j)]}$

Model logistyczny z dwoma parametrami (2PL) różni się od modelu 1PL tym, że uwalnia wspólne nachylenie, aby zmieniać się w $j$przedmiotów. W teście z 4 przedmiotami wymaga to oszacowania parametrów 8 przedmiotów - 4 stoki i 4 parametry trudności.

$P(X_{ij} = 1|\theta_i) = \frac{exp[a_j(\theta_i-b_j)]}{1+exp[a_j(\theta_i-b_j)]}$

Q2 Jeśli chodzi o wybór wcześniejszych, w przeszłości korzystałem z rozkładu log-normalnego (patrz odnośnik 1, aby uzyskać więcej informacji). Nie jestem jednak pewien, czy IRT jest odpowiednim narzędziem do Twojego problemu (niezależnie od techniki szacowania). Nawet przy silnych wyprzedzeniach (których nie masz) twoja próbka jest dość mała. Nawet praktyczne zasady korzystania z IRT zazwyczaj wymagają wielkości próbki> 100 (patrz odnośnik 2, aby uzyskać więcej informacji).

(1) Natesan, P., Nandakumar, R., Minka, T. i Rubright, JD (2016). Bayesian przed wyborem w estymacji IRT przy użyciu MCMC i wariacyjnego Bayesa. Frontiers in psychology, 7, 1422.

(2) Cappelleri, JC, Lundy, JJ i Hays, RD (2014). Omówienie klasycznej teorii testu i teorii odpowiedzi pozycji do ilościowej oceny pozycji w opracowywaniu miar wyników zgłaszanych przez pacjentów. Clinical therapeutics, 36 (5), 648-662.