Integralna tożsamość ścieżki

Question

Czytam Podstawowe metody pola w wykładach EPFL na temat GR jako EFT . Autorzy używają tej tożsamości na stronie 23, Równanie (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$która jest po prostu standardową całką Gaussa (ścieżki). Ale używają tego:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$których nie do końca rozumiem. Czy to korzysta z$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? Jeśli tak, dlaczego istnieje całka w$\exp$ - czy nie powinna istnieć odpowiednia funkcja delta, aby ją „anulować”?

Answer 1

1. Tak, OP ma rację: wykłady wykorzystują integrację ścieżki Gaussa i tożsamość$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$w równ. (174).

2. Następnie wykłady wykorzystują relację kompletności $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ i $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$w równ. (174).

3. Zachowany ślad po prawej stronie ostatniego równ. (174) może być np. Śladami smaku i wskazuje, że ślad w eq. (iii) jest tylko częściowym śladem .

Answer 2

Tak, masz rację - tożsamość wyznacznika-logarytmu została użyta powyżej. Jeśli chodzi o wykładnik wykładniczy, użyto (z książki Field Quantization autorstwa Greinera, Reinhardta, rozdział 11, strona 353) -
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

Dowód powyższego jest tam również podany. Plik$2\pi$Najprawdopodobniej są już wchłonięte przez stałą towarzyszącą. Wyrażenie podane w twoim pytaniu jest (najprawdopodobniej) całką działania w formalizmie Feynmana (całka ścieżki) i dlatego$-i$ jest - sedno formalizmu Feynmana polega na tym, że działanie można zapisać jako $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. Twoje zdrowie!