Jak znaleźć wartość $e^{-x} x^n$ przy x = $\infty$?

Question

Jak znaleźć wartość $e^{-x} x^n$ przy x = $\infty$? Właściwie to udowadniając$\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ jest krok, w którym muszę ocenić ($e^{-x} x^n$)$\big|_0^\infty$. Teraz, ponieważ nie jest to niewłaściwa całka, ale wyrażenie po obliczeniu niewłaściwej całki (według części), dla której muszę znaleźć wartość, zastępując górną i dolną granicę, nie wiem, jak obliczyć wartość w nieskończoności, ponieważ nieskończoność nie jest skończona wartość. Dzięki za wszelką pomoc.

Answer 1

Jest taki skutek $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{p(x)}{e^x} = 0$ dla dowolnego wielomianu $p(x)$. Możesz to zobaczyć intuicyjnie, patrząc na rozszerzenie serii Taylora o$\exp(x)$.

Następnie, $$\frac{x^n}{e^x} |_0^\infty = \lim_{\alpha \rightarrow \infty} \frac{\alpha^n}{e^\alpha} - \frac{0}{1} = 0. $$

W przeciwnym razie możesz użyć L'Hopital, ponieważ będzie to licznik i mianownik $\infty$ i we wszystkich są ciągłe i zróżnicowane $\mathbb R$.

Answer 2

Wzrost wykładniczy jest szybszy niż wielomian. Reguła L'hopitala daje$0/e^x\to0$przy wielokrotnym stosowaniu.