Jeśli $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ są ciągłe i zbiegają się do $f$ punktowo, musi $f$być Riemann Integrable? [duplikować]

Question

Próbuję rozwiązać następujące pytanie

Prawda czy fałsz? Jeśli$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ jest ciągiem funkcji ciągłych, które są zbieżne do $f$ w takim razie punktowo $f$ jest integrowalna Riemanna i $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

Z pomocą komentarzy znalazłem ten kontrprzykład, ale mam nadzieję, że istnieje prostszy.

Jeśli zastąpimy całki Riemanna całkami Lebesgue'a, to wynik będzie zgodny z twierdzeniem o zdominowanej zbieżności. Oznacza to, że jeśli$f$ jest więc rzeczywiście Riemann Integrable $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Więc szukając kontrprzykładu, powinniśmy spróbować znaleźć taki gdzie $f$ nie jest integrowalna metodą Riemanna.

Bardzo dziękuję za pomoc.

Answer 1

Klasyczny kontrprzykład jest następujący: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Pozwolić$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (która istnieje, ponieważ jest granicą pozytywnej malejącej sekwencji), to albo istnieje $n_0$ takie że $f_{n_0}$ nie jest integrowalna metodą Riemanna, co stanowi kontrprzykład, ponieważ $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ jest integrowalna metodą Riemanna dla wszystkich $m$, Albo $f_n$ są wszystkie integrowalne metodą Riemanna, ale od tego czasu $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ nie jest integrowalna metodą Riemanna i $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, to jest kontrprzykład.