Jest $\sup_{n\in N} E[X_n] < \infty$?

Question

Oto problem:

Pozwolić {$X_n$}$_{n\geq0}$ być nieujemną malejącą sekwencją RV, tj $X_n\leq X_{n-1}$, $\forall n \geq1$, takie że $P(0\leq X_0<\infty)=1$.

Czy to prawda, że $\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$? I jeśli$E(X_0)<\infty?$

Cóż, jeśli to prawda $\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$, od tego czasu skończymy $\sup_{n\geq1}X_n=X_1$, iw takim przypadku możemy tak powiedzieć $\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$ Jeśli $E(X_0)<\infty$, przez twierdzenie o zbieżności monotonicznej. Dlatego powiedziałbym nie na pierwsze pytanie i tak na drugie.

Czy mam rację? jest nierówność$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$ ogólnie prawdziwe dla sekwencji monotonicznych?

Jak zawsze bardzo dziękuję za pomoc.

Answer 1

$EX_n$ maleje. $sup_{n\geq 1} EX_n=EX_1$ więc $sup_n EX_n<\infty$ iff $EX_1 <\infty$. Ale$P(0\leq X_0 <\infty)=1$ nie oznacza tego $EX_1 <\infty$ ale jeśli $EX_0 <\infty$ następnie $EX_1<\infty$ także.