Kompletność TVS operatorów liniowych

Question

Pozwolić $A$ i $B$ być dwiema przestrzeniami Banacha i rozważ przestrzeń liniową $\mathbf{Ban}(A, B)$ograniczonych map liniowych z topologią jednorodnej zbieżności na zwartych zbiorach. Ponieważ ta topologia jest generowana przez rodzinę form seminaryjnych$p_K = \sup\{\|Ta|\ \colon a\in K\}$ dla $K$ zwarty podzbiór $A$, topologia to Hausdorff i lokalnie wypukła. Moje pytanie brzmi: czy to jest kompletne? A jeśli to wiadomo, jakieś cytowane odniesienie?

Answer 1

To rzeczywiście wydaje się być łatwiejsze niż ja (nie) myślałem o bliskich supinfach. Szkic dowodu: sieć Cauchy'ego w topologii jednorodnej zbieżności na zboczu jest punktowym Cauchy'm, więc ma punktową granicę. Łatwo zauważyć, że granica punktowa jest mapą liniową, a przyjmując granice punktowe w warunku Cauchy'ego, zbieżność do tej granicy jest jednolita w kompaktach. Aby zobaczyć, że granica jest ograniczona, wystarczy udowodnić, że zachowuje ciągi zerowe, ale ciąg zerowy jest zbiorem stosunkowo zwartym, więc pożądany wniosek wynika z wymiany granic, która jest możliwa, ponieważ zbieżność jest jednolita w zbiorze zwartym utworzonym przez sekwencję i jego$0$ limit.