Koncentracja normy dla subgaussa

Question

Czytam Twierdzenie 3.1.1 w książce HDP autorstwa Vershynina. Twierdzenie to stwierdza

$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$

Plik $\psi_2$ norma to norma Orlicza z funkcją Orlicza $\psi(x)=e^{x^2}-1. $

Znalazłem miejsce, którego nie rozumiem w dowodzie.

Cały dowód tylko to pokazał $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $jest subgaussowską zmienną losową. A w ostatnim zdaniu autor właśnie powiedział, że jest to równoznaczne z wnioskiem z twierdzenia.

Chciałbym zapytać o równoważność w ostatnim zdaniu.

Próbowałem przyjrzeć się centrowaniu właściwości subgaussa, ale wydaje się, że tak $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. Każda wskazówka lub pomysł jest mile widziany.

Answer 1

Wziąłem udział w kursie HDP, na którym powstała ta książka i myślę, że te wyniki również zajęły mi trochę czasu! Jest trochę „okrężnego uczucia” rozumowania, które nie jest (przynajmniej dla mnie) od razu oczywiste. Krótko mówiąc, w grę wchodzą dwie rzeczy:

1. Po pierwsze, z dowodu mamy nierówność koncentracji $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ która dotyczy wszystkich $t \geq 0$. Jak wspomniałeś, oznacza to, że termin wartości bezwzględnej jest podgaussowski z parametrem$K^2$. Z twierdzenia 2.5.2 wiemy, że istnieje odpowiednik (do stałego współczynnika)$K_1=c_1K^2$ takie że $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
2. Z definicji normy Orlicz, $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$który określa normę jako dolną lub minimalną pozytywną$t$ z $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. Z tego dochodzimy do wniosku, że norma nie może być większa niż$K_1$. Powiązaliśmy$K_1$ do $K^2$ powyżej, a wynik następuje.