Limit w ramach limitu

Question

Hej, czy ktoś mógłby mi pokazać procedurę krok po kroku, aby pokazać, że poniższe są możliwe. Wydaje się, że nie wiem, jak zredukować limit w ramach limitu do jednego limitu i zamienić zmienną „a” i „b” na „c”

(Ktoś wspomniał o iteracyjnych limitach, ale nie jestem pewien, jak to dokładnie pokazać)

$$\lim_{a\to 0}\dfrac{\lim\limits_{b\to 0}\dfrac{{f(x+a+b)-2f(x+b)+f(x)}}{b}}{a}=\lim_{c\to 0}\frac{{{f(x+2c)-2f(x+c)+f(x)}}}{c^2}$$

Pomysł ten jest wykorzystywany przy dowodzeniu pochodnej Grunwalda-Letkinowa (https://en.wikipedia.org/wiki/GrünwaldLetnikov_derivative) i wspomnieli, że krok ten jest wykonywany przy założeniu, że zarówno „a”, jak i „b” zbiegają się synchronicznie i mogą być uzasadnione przez MVT. Jeśli to możliwe, czy mógłbyś to wyjaśnić? i jak użyłbym MVT, aby to uzasadnić.

Answer 1

Możesz przepisać górny licznik jako i przyjmując $f$ jest więc wyprowadzalna:

$\underbrace{\dfrac{f(x+a+b)-f(x+a)}b}_{\to f'(x+a)}-2\underbrace{\dfrac{f(x+b)-f(x)}b}_{\to f'(x)}+\underbrace{\dfrac{f(x+a)-f(x)}b}_{\to\infty}$

Więc chyba $f$ jest stała, ostatni człon różni się od czasu użycia $\lim\limits_{b\to 0}$ najpierw w oryginalnym wyrażeniu, więc nie sądzę, że jest to dobrze sformułowane wyrażenie.

Uwaga: możesz spróbować złożyć wniosek do $f(x)=x$

Bardziej sensowne byłoby zastąpienie $-2f(x+b)$ przez $-f(x+b)-f(x+a)$ i porównując go z $f''(x)$.