Na widmie ograniczonego operatora liniowego

Question

Według [wikipedia] [1]

Pozwolić $T$ być ograniczonym operatorem liniowym działającym w przestrzeni Banacha $X$ nad złożonym polem skalarnym $\mathbb{C}$ i $I$ być operatorem tożsamości na $X$. Widmo$T$ jest zbiorem wszystkiego $\lambda \in \mathbb{C}$ dla których operator $T-\lambda I$ nie ma odwrotności, która jest ograniczonym operatorem liniowym

Ta definicja wydaje mi się nieprecyzyjna z następujących powodów. Dlatego$X$ jest Banach, jeśli $T$ma odwrotność, [ta odwrotność musi być ograniczona] [2]. Ale (moim zdaniem) definicja na Wikipedii może być myląca, ponieważ można by pomyśleć, że tak się może stać$T-\lambda I$ jest odwracalna, ale nie jest ograniczona, w takim przypadku $\lambda$ wydaje się być również elementem spektrum $T$zgodnie z powyższą definicją. Myślę, że lepszą definicją widma w tym przypadku byłby zbiór wszystkich liczb zespolonych, takich jak$T-\lambda I$ nie jest odwracalna.

Pytanie: Jeśli$X$zakłada się, że jest znormalizowane zamiast Banacha, jaka jest najlepsza definicja widma? Czy się domaga$T-\lambda I$nie być odwracalnym, czy też nieodwracalnym i ograniczonym?

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20) .-, Basic% 20properties, subset% 20of% 20the% 20complex% 20plane. & Text = would% 20be% 20defined% 20everywhere% 20on% 20the% 20complex% 20plane% 20and% 20bounded. & Text = The% 20boundedness% 20of% 20the% 20 widmo, ograniczone% 20 by% 20% 7C% 7CT% 7C% 7C. [2]: Odwrotność ograniczonego operatora?

Answer 1

Gdyby $T-\lambda I$ jest więc iniekcyjny $T-\lambda I$ będzie mieć odwrotność na $\mathcal{R}(T-\lambda I)$, ale to nie gwarantuje tego $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$jest ograniczona. Weźmy na przykład pod uwagę$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ określony przez $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$jest ograniczona. Chociaż na odwrót$T^{-1}g = g'$ jest zamknięty, jest zdefiniowany tylko w funkcjach $g \in L^2[0,1]$ to są

$\;\;\;$(i) absolutnie ciągłe,
$\;\;\;$(ii) znikają o godz $0$, i
$\;\;\;$(iii) mają pochodną integrowalną z kwadratem $[0,1]$.

Ponadto $T^{-1}$nie jest ograniczony do swojej domeny; więc nie ma możliwości przedłużenia$T^{-1}$w taki sposób, aby był ciągły. Jeśli zakres$T$ były wszystkie $X$, tak że odwrotność $T$ zostały zdefiniowane wszędzie $L^2[0,1]$, wtedy twój argument miałby zastosowanie, ponieważ $T$byłby zdefiniowany w przestrzeni Banacha i miałby zamknięty wykres. Ale to nie musi się wydarzyć, nawet jeśli$T^{-1}$ istnieje, ponieważ w tym przypadku tak się nie dzieje.