Obliczanie oczekiwań

Question

Zakładając, że punkty są pobierane z równomiernego rozkładu w dniu $ [0,1] $. Jeśli spróbujemy$10$ wartości i obliczyć ich średnią wartość $u$, oczekiwanie $u$ jest $1/2$. Jeśli jednak spróbujemy$10$ wartości i obliczyć średnią $\hat{u}$ z $9$ najmniejszy z nich, czego się oczekuje $\hat{u}$?

Answer 1

Aby wyprowadzenie było jaśniejsze, zastąpmy konkretną wartość $10$ przez kogoś $n\in \mathbb{N}$. Teraz pozwól$X_1,\ldots,X_n\sim U(0,1)$ być niezależne i równomiernie rozłożone w przedziale jednostek $[0,1]$. Wtedy interesująca cię zmienna losowa to średnia z$n-1$ najmniejszy $X_i$.

Pisanie $X^\star := \max_{1\le k\le n} X_k$, otrzymujemy sumę powyżej najmniejszej $n-1$ z $X_i$ przez odjęcie $X^\star$ od sumy ogólnej $X_i$, więc wielkość zainteresowania można zapisać jako $$ M := \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i - X^\star\right),$$ której oczekiwana wartość to $$\mathbb{E} [M] = \frac{1}{n-1} \left( \frac{n}{2} - \mathbb{E}\left[X^\star\right]\right).$$ Dlatego pozostaje znaleźć oczekiwane maksimum $n$ niezależny $U(0,1)$-zmienne. Można to wykazać$\mathbb{E}\left[X^\star\right] = \frac{n}{n+1}$ (wyprowadzenie, które chętnie dodam, jeśli jesteś zainteresowany), podając nam ostateczny wynik \begin{align*} \mathbb{E}[M] &= \frac{1}{n-1} \left( \frac n2 - \frac{n}{n+1}\right)\\ &= \frac{1}{n-1} \frac{n(n+1) - 2n}{2(n+1)}\\ &= \frac 12\frac{n}{n+1}. \end{align*} Zgodnie z oczekiwaniami jest to mniejsze niż, ale coraz bardziej zbliżone $\frac 12$ tak jak $n$wzrasta. W twoim przypadku, gdzie$n = 10$, to się stanie $\mathbb{E}[M] = 10/22 \approx 0.45$.