Ocena całki Lebesgue'a

Question

Mam trochę problemów z drugim punktem tego pytania i nie jestem do końca pewien, czy dobrze zrobiłem pierwszy:

Dla $x\in\mathbb{R} - \{0\}$, pozwolić $f_n(x) = \frac{1}{(1 + n^2 + x^2)(\arctan (x^2))^{1/n}}$, $n \in\mathbb{N} - \{0\}$

(i) określić dla których $n ∈ \mathbb{N}, f_n$ ∈ $L^1(\mathbb{R})$

(ii) oceniać $\lim_{n\to \infty}$ $\int_{\mathbb{R}} f_n \,dm$;

Po pierwsze zauważam, że plik $f_n$ są ciągłe, co oznacza, że ​​są mierzalne, a funkcje są równe, więc mogę zawęzić analizę do $[0, \infty )$.

Wtedy, kiedy $x\rightarrow\infty, \, f_n \sim \frac1{x^2\bigl({\pi\over2} \bigr)^{1 \over n}} \le {1 \over {x^2}}$ więc mogę powiedzieć, że całka zbiega się dla każdego $n\in\mathbb{N} - \{0\}$

Zamiast tego kiedy $x \rightarrow 0$, $f_n \sim \frac1{(1+x^2)x^{2 \over n}} \le {1 \over {x^{2\over n}}}$ które są zbieżne dla każdego $n \gt 2 $. Następnie doszliśmy do drugiego punktu, tutaj nie mogłem znaleźć całkowego majoranta, który wykorzystałby zdominowane przez Lebesgue'a twierdzenie o zbieżności i nie byłem nawet w stanie określić, czy istnieje łańcuch tego typu$f_1 \le f_2 \le f_3 \le \cdots \le f_n \le \cdots$ aby skorzystać z monotonicznego twierdzenia o zbieżności w celu przekroczenia granicy pod znakiem całki i oszacowania jej.

Jako dodatek myślę, że całka na końcu wynosi zero, ponieważ $\lim_{n\to \infty} f_n = 0$.

Dziękuję Ci bardzo.

Answer 1

Zwróć uwagę, że dla każdego naprawionego pliku $\epsilon \in(0,1)$ następnie $0\leqslant f_n(x)\leqslant \frac1{(1+x^2)\arctan (\epsilon ^2) }$ dla wszystkich $x\in \mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )$ i wszystkich $n\in \mathbb{N}$ więc twierdzenie o zdominowanej zbieżności pokazuje nam to $$ \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ Teraz zauważ to $|x|/2\leqslant |\arctan x|$ dla wszystkich $x\in (-\epsilon ,\epsilon )$. W związku z tym$$ 0\leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda \leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}\frac2{n^2|x|^{2/n}}\mathop{}\!d x =\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y\leqslant \int_{(0,1)}\frac4n\epsilon ^{1-3/n}\mathop{}\!d y $$ Następnie twierdzenie o zdominowanej zbieżności pokazuje nam to $$ \lim_{n\to\infty}\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y=0\implies \lim_{n\to\infty}\int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ więc wyciągamy z tego wniosek $\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n\mathop{}\!d \lambda =0$.