Ocena limitu.

Question

W N. Piskunov wyjaśnił równania różniczkowe na przykładzie oporu powietrza działającego na spadające ciało. Po obliczeniu równania różniczkowego otrzymuje równanie na prędkość jako:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Następnie stwierdza, że ​​jeśli $k = 0$ następnie równanie zamienia się w podstawowe równanie: $$v = v_o + gt.$$

Teraz rozumiem to stwierdzenie, ponieważ gdy opór powietrza wynosi zero, to równanie prędkości zachowuje. Jednak nie jestem w stanie udowodnić tego stwierdzenia, gdy oceniam limit:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Każda pomoc w oszacowaniu limitu będzie mile widziana!

Answer 1

Ty masz

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Granica pierwszego terminu, tj. $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$, jest po prostu $v_{o}$. Na drugą kadencję, ponieważ granica staje się to$\frac{0}{0}$stosując regułę L'Hôpital daje

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Mogłeś również użyć komentarza do pytania podanego przez dnfu , aby uzyskać tę samą wartość. W ten sposób otrzymujemy połączony wynik z \ eqref {eq1A}

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

Alternatywnie mamy to według standardowego limitu $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ tak jak $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

a wynik jest następujący.

Answer 3

Z

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

staje się

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$