Okazać się $\int_{-\pi}^\pi F_n(y) \, dy=1$

Jan 08 2021

Okazać się $\int_{-\pi}^\pi F_n(y)\,dy=1$, z $$F_n(y)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left( \frac{(n+1)y}{2} \right)}{\sin^2(\frac{y}{2})}$$

Zadałem podobne pytanie, ale podałem serię funkcji. Tym razem nie wiem, czy istnieje seria, która może mi w tym pomóc. Próbowałem bez serii:

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_n(y) \, dy &= \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)} \frac{\sin^2\left(\frac{(n+1)y}{2}\right)}{\sin^2(\frac{y}{2})} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{\frac{i(n+1)y}{2}}-e^{\frac{-i(n+1)y}{2}})^2}{(e^\frac{iy}{2}-e^\frac{-iy}{2})^2} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{i(n+1)y}+e^{-i(n+1)y}-2)}{(e^{iy}+e^{-iy}-2)} \, dy \end{align}

Ale teraz znowu utknąłem. Myślę, że musi być łatwiejszy sposób, aby to udowodnić. Czy ktoś może mi pomóc?

Odpowiedzi

2 mathcounterexamples.net Jan 08 2021 at 02:47

Ty masz

$$F_n(x) = \frac{2\pi}{n+1}D_n^2(x)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx} \right)^2= \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}.$$

z którego wynika poprzez przełączenie $\int$ i $\sum$ równości

$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(x) \ dx&= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)^2 \ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^ne^{i(k+l)x}\ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^n \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k+l)x}\ dx\\ &=1 \end{aligned}$$

tak jak w przypadku podwójnej sumy, jedynymi nieznikającymi terminami są dla $k=-l$ i tu są $n+1$ takie warunki.

4 AsemAbdelraouf Jan 08 2021 at 02:38

Podpowiedź: niech$$D_n(x)= \sum_{k=-n}^n e^{ikx},$$ i pozwól $$F_N(x) = \sum_{n=0}^{N-1} D_n(x).$$ Udowodnij to $$ F_N(x) = \frac{1}{N}\frac{\sin^2 (Nx/2)}{\sin^2 (x/2)}.$$

$D_n$ jest znany jako jądro Dirichleta i $F_N$ jest znany jako Fejér Kernel.

1 Quanto Jan 08 2021 at 02:46

Oto integracja bez uciekania się do serii

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_{n}(y)dy & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2}\frac{(n+1)y}{2}}{\sin^{2}\frac{y}{2}}dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-1}{\cos y-1} dy \\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-\cos(n+1)a}{\cos y-\cos a} dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\frac{\pi\sin(n+1)a}{\sin a}\\ &=1 \end{align} gdzie wynik $$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx = \frac{\pi \sin(na )}{\sin a}$$wyprowadzone w parametrycznej całce trygonometrycznej$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx$ jest używany.