Operator $A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$

Question

Pozwolić $H$ być przestrzenią Hilberta, $A\in H'$ ograniczony operator i $A^*$ jego sąsiad. $A$ jest nazywany ograniczonym od dołu, jeśli istnieje $b>0$, takie że $b ||h||\le ||Ah||, \forall h\in H$. Jak więc można to ustalić$$A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$$ Podana wskazówka jest taka, aby użyć twierdzenia o zamkniętym zakresie $Ran(A)$ jest zamknięty iff $Ran(A^*)$zamknięte. Ale nie jestem pewien, jak połączyć zamknięcie z powierzchownością. Każda pomoc zostanie doceniona.

Answer 1

Myślę, że możesz wykonać następujące czynności: Od $A$ jest ograniczony poniżej i $H$ jest kompletne, masz to $Ran(A)$zamknięte. Co oznacza że$Ran(A)$ jest przestrzenią Hilberta.

Ponownie, będąc ograniczonym poniżej, wynika z tego $A_0\colon H\to Ran(A)$, ograniczenie $A$w swoim zakresie jest izomorfizmem liniowym (również dwupoziomowym). Dlatego masz to$A_0^* \colon Ran(A)' \to H'$ jest również liniowym izomorfizmem $Ran(A)' = Ran(A)$ w $H'=H$.

Myślę, że możesz to udowodnić $A_0^*$ to jest tylko $A^*$ ograniczony do $Ran(A)$. W związku z tym,$A^*$, może już nie być zastrzykiem, ale z pewnością jest powierzchownym.

Z drugiej strony myślę, że możesz zrobić coś podobnego. Gdyby$A^*$ jest surjektywna, a następnie zdefiniuj $H_0\doteq \ker (A^*)^\perp $, która jest przestrzenią Hilberta i $A^*_0\colon H_0\to H$, co jest izomorfizmem liniowym od $A^*$ jest surjektywna.

Następnie $(A_0^*)^*\colon H'\to H_0'$jest izomorfizmem liniowym (jak zawsze dwuspadowym), dlatego jest ograniczony poniżej. Po raz kolejny od$H$ i $H_0$ są przestrzeniami Hilberta, wynika z tego $H'=H$ i $H_0' = H_0\subset H$.

Myślę, że możesz to udowodnić $(A^*_0)^*$ zbiega się z $A^{**} = A$. I jesteś skończony.