Orbity $\mathbb{Z}$ działanie na $\mathbb{S}^1$

Question

Pozwolić $\mathbb{Z}$ działa $\mathbb{S}^1$ z akcją $\phi (n)(z)=e^{i \alpha n}z$ zdefiniowane dla $\alpha\in\mathbb{R}$ i $z\in\mathbb{S}^1$.

Najpierw łatwo to widzimy $\phi$ działa stabilnie $\mathbb{S}^1$.

Jakie są orbity tej akcji? Czy możemy opisać je wszystkie? Czy są spokrewnieni z$O(2)$ Grupa ?

Zrobiłem już kilka specjalnych przypadków dla dowolnego punktu $P$ w $\mathbb{S}^1$:

• Dla $\alpha=0$, $\phi(n)(z)=Id_{\mathbb{S}^1}$
• Dla $\beta\in\mathbb{Z}^*$ takie że $2\pi/\alpha=\beta$ mamy $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=\beta$
• Dla $p/q\in\mathbb{Q}^*$ takie że $2\pi / \alpha=p/q$ mamy $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=p$
• Myślę za $2\pi / \alpha$ jako irracjonalna, orbita może być $\mathbb{S}^1$ ale nie mogę tego udowodnić.

Answer 1

Są dwa przypadki. Gdyby$\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{p}{q}$ jest racjonalna i w najgorszym znaczeniu każda orbita ma rozmiar $q$(tak jak mówisz). W przeciwnym razie, jeśli$\frac{\alpha}{2\pi}$ jest irracjonalne, to każda orbita ma trywialny stabilizator, więc jest kopią $\mathbb{Z}$. (Orbita nie może być cała$S^1$ponieważ musi być policzalne. Prawdą w irracjonalnym przypadku jest to, że żadna z orbit nie jest zamknięta, a każde z ich zamknięć jest wszystkim$S^1$.)