Podstępny problem wypukłego kadłuba

Question

Pozwolić $V$być zbiorem arbitralnym. Jeśli się uwzględni$\sup_{x\in V} \langle x,u\rangle \ge 1$ dla wszystkich jednostek $u\in \mathbb{R}^n,$ pokaż ten wypukły kadłub $V$ zawiera kulę jednostki oepn wyśrodkowaną na 0.

Z początku wydaje się to łatwe, ale spędziłem godziny na rozmyślaniu o tym bez skutku.

Answer 1

Przypuszczać $u$ leży w otwartej kuli jednostki ale $u \notin V$. Hahn Banach pokazuje, że istnieje pewien wektor jednostkowy$h$ takie że $\langle h, x \rangle \le \langle h, u \rangle $ dla wszystkich $x \in V$. W związku z tym$1 \le \langle h, u \rangle \le \|u\| < 1$ co jest sprzecznością.

Answer 2

(Twierdzenie o oddzielających hiperpłaszczyznach) Let $A$ i $B$ być dwoma rozłącznymi, niepustymi, wypukłymi podzbiorami $\mathbb{R}^n$. Wtedy istnieje niezerowy wektor$v$ i liczbę rzeczywistą $c$ takie, że:$\langle x, v \rangle \ge c \, \text{ and } \langle y, v \rangle \le c$ dla wszystkich $x$ w $A$ i $y$ w $B$; tj. hiperpłaszczyzna$\langle \cdot, v \rangle = c$, $v$ wektor normalny oddziela $A$ i $B$.

Przypuszczam, że $u \in B(0,1)$ ale $u \notin conv(V)$. Wtedy pozwolić$A:=\{u\},B:=conv(V)$w twierdzeniu. Wtedy istnieje niezerowy wektor$v$ i liczbę rzeczywistą $c$ takie, że:

$$\langle u, v \rangle \ge c \implies \|v\|_2> c$$

i $$ \sup_{y \in conv(V)}\langle y, v \rangle \le c \implies \|v\|_2\le \sup_{y \in V}\langle y, v \rangle \le c$$

Pierwszą implikacją jest nierówność Cauchy'ego Schwarza i że $B(0,1)$jest otwarte; ta druga implikacja wynika z naszego założenia. Daje to pożądaną sprzeczność.