Pokazują, że $\angle BOC=\angle AOD$.

Question

Pozwolić $E$ i $F$ być przecięciami przeciwległych boków wypukłego czworoboku $ABCD$. Dwie przekątne spotykają się o godz$P$. Pozwolić$O$ być stopą prostopadłej od $P$ do $EF$. Pokazują, że$\angle BOC=\angle AOD$.

Oto schemat:

Zdefiniowałem $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $ .

Teraz, według znanego lematu, mamy $(Y,X;P,E)=-1$ i przez lemat apoloniusza, otrzymujemy $PO$ połówki $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

Podobnie my to wiemy $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ połówki $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$ .

Ale te równości kątów nie prowadzą mnie dokąd, czy ktoś może dać jakieś wskazówki? Z góry dziękuję !

Answer 1

Pozwólcie, że krótko opiszę problem

Trójkąt $\triangle ABC$ i trzy ceviany $AD, BE, CF$ które zgadzają się w $P$są podane. Definiować$O:=EF\cap AD$ i pozwól $H$ być rzutem ortogonalnym $O$ na $BC$. Udowodnij to$\angle EHA=\angle KHF$.

Pozwolić $L:=AH\cap EF$ i $K:=HP\cap EF$. Najpierw to udowodnimy$\angle LHO=\angle OHK$, a potem to $\angle EHO=\angle OHF$. Zwróć uwagę, że wynik wynika z tych obserwacji.

W pierwszej części zwróć uwagę, że - jak powszechnie wiadomo - $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ Od $(J,O; K, L)$ jest harmoniczna i $\angle OHJ=90^\circ$, można wywnioskować, że w rzeczywistości $\angle LHO=\angle OHK$. Drugiej części można udowodnić podobnie, skoro już mamy$(J,O;F,E)=-1$.