Pole ułamkowe $\mathbb Z_p[[X]]$

Question

Wiemy, że pole frakcji $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$jest ściśle zawarty w dziedzinie serii zasilania Laurent$\mathbb Q_p((X))$, dzięki temu wynikowi Gilmera. Więc moje pytanie brzmi:

Czy można jednoznacznie opisać elementy $F$?

Niektóre podobne pytania zostały już zadane tutaj lub w Mathoverflow. Być może najbardziej istotny jest ten dotyczący jawnego obliczenia pola ułamka$\mathbb Z[[X]]$. Ktoś sugeruje w komentarzach do powiązanego pytania, z którym problem$\mathbb Z_p$ (zamiast $\mathbb Z$) powinno być łatwiejsze.

Podano tutaj pewne ogólne warunki konieczne , gdy współczynniki szeregu potęgowego leżą w dowolnej dziedzinie, ale chciałbym znaleźć pewne warunki wystarczające w konkretnym przypadku$\mathbb Z_p$.

Z góry bardzo dziękuję

Answer 1

Powiedzmy, że masz serię potęg $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.

Jeśli jest niezerowe, możesz zapisać je jako $X^np^m\sum_k b_kX^k$ z $b_0 \notin (p)$.

W szczególności as $\mathbb Z_p$ jest lokalny, $b_0$ jest odwracalna i tak $\sum_kb_k X^k$ jest również odwracalny: wystarczy odwrócić $X^np^k$

W szczególności, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.

A więc element $f\in \mathbb Q_p((X))$ jest w $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ wtedy i tylko wtedy, gdy $p^n$ w mianownikach są ograniczone

(powyższy opis pokazuje bit „tylko jeśli”, a dla „jeśli”: jeśli są ograniczone, mnożenie przez $p^k$ dla $k$ wystarczająco duży sprawia, że ​​lądujesz $\mathbb Z_p((X))$)

Jak wskazuje YCor w komentarzach do pytania MO na temat $\mathbb Z[[X]]$, pytanie jest chyba łatwiejsze w przypadku pierścieni lokalnych bardziej ogólnie, chociaż tutaj faktycznie użyłem, że maksymalny ideał był zasadniczy (więc działa to na dyskretnych pierścieniach wyceny)