Potencjał do $A\,\nabla V$

Question

Pozwolić $V:\mathbb R^n\to \mathbb R$ gładko, niech $A$ odwracalna rzeczywista macierz wymiaru $n\times n$. Rozważmy następujące pole wektorowe$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^ n$, $$ F(x) \equiv A\,\nabla V(x) \,.$$ Czy można określić jakiś warunek $A$ takie że $F$ ma potencjał, a mianowicie istnieje $U:\mathbb R^n\to \mathbb R$ takie że $$ \nabla U(x) = F(x) \;\;?$$ W szczególności jestem zainteresowany sprawą $A$ macierz diagonalna.

Answer 1

Jest to bezradnie fałszywe, nawet w przypadku przekątnej. Oto dwa przykłady (po moich komentarzach).

(1) Weź $V(x,y)=\frac12(x^2+y^2)$ i $A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}$. Następnie$$A\nabla V = \begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -y\\x\end{bmatrix}$$ nie jest konserwatywna.

Zauważ jednak, że jeśli trzymamy się macierzy rotacji i bierzemy $V$ być harmonijnym $A\nabla V$ znowu będzie miał loki $0$. Na przykład z$V(x,y)=\frac12(x^2-y^2)$, mamy $A\nabla V = \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix} = \nabla(xy)$. To nie przypadek, że otrzymujemy tutaj koniugat harmoniczny.

(2) Weź $V(x,y) = xy$ i $A=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$. Następnie$$A\nabla V = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y\\x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ay\\bx\end{bmatrix}$$ nie jest konserwatywna, chyba że $a=b$.