Prime elementy w $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$

Question

Muszę określić, który z elementów $3+2\sqrt{5}$, $9+4\sqrt{5}$ i $4-\sqrt{5}$ są głównymi elementami w programie $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, odpowiednio, które są powiązane.

Mój ansatz wygląda następująco:

Więc pozwól $x=3+2\sqrt{5}$ podzielić $ab$ dla $a,b \in R$. Tak więc są$u,v \in \mathbb{Z}$, takie że $$ab=(a_1+b_1\sqrt{5})(a_2+b_2\sqrt{5})=(a_1a_2+5b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1\sqrt{5})=(u+v\sqrt{5})(3+2\sqrt{5})=(3u+10v)+(3v+2u)\sqrt{5}.$$ Jak mam stąd przejść, żeby sprawdzić, czy $x|a$ lub $x|b$?

Answer 1

$3+2\sqrt{5}$ ma normę $-11$ i $4-\sqrt{5}$ ma normę $11$. Może są wspólnikami. W rzeczy samej$$ \frac{3+2\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} = 2+\sqrt{5} $$ i $2+\sqrt{5}$ jest jednostką, ponieważ ma normę $-1$. W rzeczywistości,$(2+\sqrt{5})(-2+\sqrt{5})=1$.

$9+4\sqrt{5}$ jest jednostką, ponieważ ma normę $1$ a więc $(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})=1$.

Pozostaje zdecydować, czy $3+2\sqrt{5}$jest liczbą pierwszą. Rozważać$$ \frac{\mathbb Z[\sqrt{5}]}{\langle 3+2\sqrt{5} \rangle} = \frac{\mathbb Z[\sqrt{5}]}{\langle 3+2\sqrt{5},11 \rangle} = \frac{\mathbb Z[X]}{\langle X^2-5,3+2X,11 \rangle} \cong \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,3+2X \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,2(7+X) \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,X+7 \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X+7 \rangle} \cong \mathbb Z_{11} $$która jest domeną. W związku z tym,$3+2\sqrt{5}$ jest liczbą pierwszą.