Problem geometrii - IOQM

Question

W $\triangle ABC$, $AC = BC$, $\angle C=20^{\circ}$, $M$ jest z boku $AC$ i $N$ jest z boku $BC$, takie że $\angle BAN=50^{\circ}, \angle ABM = 60^{\circ}$. Odnaleźć$\angle NMB$ w stopniach.

To jest pytanie na poziomie INMO-IOQM i nie jestem w stanie w żaden sposób rozwiązać, proszę o pomoc. Próbowałem ścigać pod kątem, ale bez skutku.

Answer 1

Rozwiązanie trygonometryczne

Pozwolić $\angle NMB=\alpha$

$\dfrac{BN}{\sin\alpha}=\dfrac{MB}{\sin(160-\alpha)}$,$\triangle NMB$,i, $\dfrac{AB}{\sin40}=\dfrac{MB}{\sin 80}$, $\triangle AMB$ (Twierdzenie o sinusie)

Od $AB=BN$, następnie

$\dfrac{\sin\alpha}{\sin(160-\alpha)}=\dfrac{\sin40}{\sin 80}=\dfrac{1}{2\cos40}$

$\sin(160-\alpha)=2 \sin\alpha \cos40=\sin(\alpha+40)+ \sin(\alpha-40)$

$\sin(160-\alpha)- \sin(\alpha-40)=\sin(\alpha+40)$

$2\cos60 \sin(100-\alpha)=\sin(\alpha+40)$

$\sin(100-\alpha)=\sin(\alpha+40)$

1. Walizka

$100-\alpha=\alpha+40 \implies \alpha=30$

1. Walizka

$100-\alpha+\alpha+40=180 \implies 140\not=180$ , NA

Answer 2

Weź punkt P na AC między A i M taki, że $\angle ABP=20$

W związku z tym $BA=BP$

$\angle PMB= \angle PBM= 40$

W związku z tym $PB=PM$

$\angle BAN= \angle BNA= 50$

W związku z tym $BA=BN$

Więc $\triangle BPN$ jest trójkątem równobocznym

$PN=PM$ i $\angle MPN=40$

Wreszcie

$\angle PMN= \angle PNM= 70$

$\angle NMB= 30$