Problem sadzenia sadów dla kręgów
Klasyczny problem sadzenia sadów wymaga maksymalnej liczby 3-punktowych linii prostych, które można uzyskać z konfiguracji$n$ punkty narysowane na płaszczyźnie.
Tutaj interesuje nas wariant tego problemu. Jaka jest maksymalna liczba okręgów 4-punktowych, które można uzyskać z konfiguracji 10 punktów narysowanych na płaszczyźnie? Każdy osiągnięty okrąg musi przejść przez co najmniej 4 punkty.
Odpowiedzi
potrafię
$22$:
Wersja mniej estetyczna, ale bardziej odkrywcza
powyższa wersja została uzyskana z tego przez odwrócenie w kole
lub
Konstrukcja jest następująca: dwa koncentryczne pięciokąty regularne: To daje $2$ okręgi ograniczone i $5\times 2 \times 2$ symetryczne trapezoidy, z których każdy przyjmuje koło opisane przez symetrię.
Tutaj jest mniej pracowity obraz - całość uzyskuje się przez nakładanie kolejnych obrotów wg $72°$ i przez dodanie dwóch okręgów opisanych na dwóch pięciokątach.
Poniższa odpowiedź nawiązuje do doskonałego pomysłu Deusovi w komentarzu do pytania.
Zacznij od rozwiązania pierwotnego problemu z sadem z 9 drzewami, z 10 liniami po 3 drzewa.
Następnie dodaj punkt w nieskończoności, aby uzyskać 10 punktów i 10 linii z 4 punktami, i użyj transformacji Möbiusa, aby zmienić je wszystkie w koła z 4 punktami.
W szczególności użyłem punktów o następujących współrzędnych:
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Point & Original & Transformed \\ \hline A & \infty & (0,0) \\ \hline B & (1,2) & (1/5,-2/5) \\ \hline C & (2,2) & (1/4, -1/4) \\ \hline D & (3,2) & (3/13,-2/13) \\ \hline E & (0,1) & (0,-1) \\ \hline F & (2,1) & (2/5,-1/5) \\ \hline G & (4,1) & (4/17,-1/17) \\ \hline H & (0,3) & (0,-1/3) \\ \hline I & (2,3) & (2/13,-3/13) \\ \hline J & (4,3) & (4/25,-3/25) \\ \hline \end{array}$$
Ostatnia kolumna to nowa współrzędna po $z \to 1/z$ transformacja płaszczyzny zespolonej, którą we współrzędnych kartezjańskich jest mapa $(x,y) \to (x/s,-y/s)$ gdzie $s=x^2+y^2$.
Oryginalne dziesięć linii staje się następnie dziesięcioma okręgami ABCD, AEFG, AHIJ, AHBF, AHCG, AIBE, AICF, AIDG, AJCE, AJDF. Wybrałem oryginalne punkty tak, aby żadna linia nie przechodziła przez początek, upewniając się, że po przekształceniu są one raczej okręgami niż liniami prostymi (początek odwzorowuje punkt w nieskończoności i byłby zawarty na dowolnej prostej).
Oryginalny układ ma również okręgi BDEG, DBHJ, BDIF, EFHI, FGIJ, EGHJ i pozostają one okręgami po transformacji, łącznie na 16 okręgów .
znalazłem
Dwa kolejne rozwiązania, które tworzą 22 koła, ale mają zupełnie inną strukturę niż to znalezione wcześniej.
(2,8,2,4) (3,1) (4,4) (3,2) (1,5,1,5) (3,411764706,1,647058824) (2,333333333,2,333333333) (2,0) (1,692307692,2,461538462) (2,461538462,1,692307692)
(3,076923077,2,384615385) (2,068965517,2,172413793) (0,8,1,4) (0,7) (2,702702703,3,216216216) (2,1) (1,176470588,2.294117647) (1,33333333,3) (2,3) (3,529411765,1,117647059)
