Problem w reprezentacjach $D_4$

Question

Problem

Pozwolić $G=D_4=\langle a,b\ |\ a^4=b^2=1,\ ab=ba^{-1}\rangle$ i $V=\mathbb{C}^2$ z podstawami $\{e_1,e_2\}$. Widzimy$V$ jak $\mathbb{C}G-$moduł z akcją $ae_1=e_2,\ ae_2=-e_1$ i $be_1=e_1, \ be_2=-e_2$.

1. Oblicz znak $\chi_V$ i pokaż, że $\mathbb{C}G-$moduł $V$ jest nieredukowalna.

znalazłem to $\chi_V(1)=2,\ \chi_V(a)=0,\ \chi_V(b)=0,\ \chi_V(a^2)=-2,\ \chi_V(ab)=0$ i to $[\chi_V,\chi_V]=1$ stąd $\mathbb{C}G-$moduł $V$ jest nieredukowalna.

1. Sprawdź, czy $V\otimes_{\mathbb{C}}V$ ma $\mathbb{C}G-$podmoduł izomorficzny do $\mathbb{C}G$.
2. Dla każdego $n\ge1$ mamy $\mathbb{C}G-$moduł $V_n=V^{\otimes n}$. Znajdź wszystko$n$ dla których istnieje $w\in V_n$ św $w\not=0$ i $gw=w,\ \forall g\in G$.

Muszę znaleźć $n$ św $V_n^G=\{v\in V_n\ | \ gv=v\ \forall g\in G\}\not=\emptyset\iff dim_{\mathbb{C}}V_n^G\ge1$. wiem to$dim_{\mathbb{C}}V_n^G=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{V_n}(g)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}[\chi_{V}(g)]^n=\begin{cases} 0, \ n\ \text{ is odd}\\ \ge1,\ n \ \text{is even} \end{cases}$. Tak ma być$n\in2\mathbb{Z}$.

(a) Czy moje podejście jest w $1,3$ poprawny?

(b) Wszelkie pomysły na $2$?

(c) Czy istnieje ogólna metoda sprawdzania, czy moduł $A$ zawiera izomorficzny obraz modułu $B$używając znaków? W szczególności, jak mogę określić, czy dla$\mathbb{C}G-$ moduł $V$, $V\otimes_{\mathbb{C}} V$ zawiera $\mathbb{C}G-$ podmoduł izomorficzny do $V$?

Z góry dziękuję!

Answer 1

1. Seans $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = 1$ jest w porządku.

2. Ogólnie, $\langle \chi_V, \chi_{\mathbb{C} G}\rangle = \dim V$. To tylko dlatego$\chi_{\mathbb{C}G}(g) = |G| \delta_{g=1}$, więc iloczyn skalarny po prostu się wybiera $\chi_V(1) = \dim V$. Ten przykład rzeczywiście to pokazuje$\langle \chi_V, \chi_W\rangle$ nie muszę ci nic mówić o tym, czy nie $V$ zawiera $W$. To również pokazuje$V$ zawiera $\mathbb{C}G$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich nieredukowalnych $W$, $\langle \chi_V, \chi_W\rangle \geq \dim W$. Ten ostatni warunek jest oczywiście łatwy do sprawdzenia, jeśli wiesz wszystko$\chi_W$jest wyraźnie, a dla tak małej grupy można je rozwiązać ręcznie.

3. Przetwarzanie danych $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g)^n$ jest świetny.

W tym konkretnym przypadku łatwo to zobaczyć $\langle \chi_V^2, \chi_V\rangle = 0$, więc $V \otimes V$ nie zawiera nieredukowalnego $V$, więc nie może zawierać $\mathbb{C}G$ i nie musisz sprawdzać żadnych innych nierówności ani szukać innych nieredukowalnych postaci.