Pytanie dotyczące hazardu

Question

Ćwiczenie 4.21: W grze wygrywasz \ 10 $ z prawdopodobieństwem $ \ frac {1} {20} $ i przegrywasz \ 1 $ z prawdopodobieństwem$\frac{19}{20}$. Oszacuj prawdopodobieństwo, że straciłeś mniej niż 100 $ po pierwszych 200 grach. Jak zmieni się to prawdopodobieństwo po 300 grach?

Próba :

Najpierw pokazujemy wygrane i przegrane razem w jednej zmiennej. Zdefiniuj \ begin {equation *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {equation *} gdzie $ W_n $ oznacza wygrane po $ n $ gier, a $ S_n $ określa liczbę wygranych w $ n $ grach. Zatem \ begin {equation *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr). \ end {equation *} Teraz stosujemy centralne twierdzenie graniczne w obu przypadkach, z różnymi wartościami $ n $ .

Niech $ n = 200 $ , a następnie $ S_n \ sim Bin (200, \ frac {1} {20}) $ . Dlatego życzymy sobie $ S_n> \ frac {100} {11} $ . Ponadto $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ i Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Stąd wynika z CLT z poprawką ciągłości, że \ begin {equation *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ około 1 - \ Phi (-0,457169) \ około 0,6772. \ end {equation *}

Teraz książka daje inną odpowiedź dla pierwszego przypadku 200 gier, czyli 0,5636. Chciałbym zrozumieć swój błąd, zanim przejdę do następnej sprawy

Intuicyjnie ma to również sens, ponieważ warunek $ S_n> \ frac {100} {11} $ powinien znajdować się blisko szczytu krzywej dzwonowej rozkładu normalnego, ponieważ oczekiwana wartość 10 jest bliska $ \ frac {100} {11} $ . Jednak przez całe życie nie mogę znaleźć błędu w moich obliczeniach.

(Inne pytanie dotyczące wymiany stosów matematycznych dotyczące tego pytania zasadniczo niczego dla mnie nie wyjaśniło, stąd ten post).

Utrata mniej niż 100 $ w grze losowej.

Answer 1

Gdyby $X$ to losowa liczba wygranych $n$ gry $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ a zmienną losową wygranych / przegranych netto jest $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ A zatem $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ To ostatnie wyrażenie wynika z faktu, że $X$nie może przyjmować wartości ułamkowych. W konsekwencji,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ To jest dokładne prawdopodobieństwo: jedyne przybliżenie to zaokrąglenie ułamka do ułamka dziesiętnego.

Daje to również kluczowy wgląd w to, dlaczego Twoja odpowiedź jest nieprawidłowa: tylko dlatego, że używasz normalnego przybliżenia z korektą ciągłości, nie oznacza to, że $W$ które chcesz uwzględnić w żądanym prawdopodobieństwie, może znajdować się poza przestrzenią próbki $W$.

Na przykład, jeśli $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$i proszę cię o $\Pr[U < 225.999]$, musisz najpierw napisać $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, następnie zastosujesz korektę ciągłości, aby przybliżyć ją jako$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$To samo dotyczy tutaj; a zatem$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Najwyraźniej twój tekst jest zaokrąglany przed zakończeniem obliczeń lub używa standardowego zwykłego wyszukiwania w tabeli bez interpolacji, ponieważ $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. W każdym razie przybliżenie$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ zbytnio się odchyla.